Integralrechnung bestimmtes integral: ∫ dx/(a^2+x^2)

Question

In meinem Tafelwerk finde ich ......

 

∫  dx   /    a² + x²    =       1 / a   *  arc tan(x/a)   +   c

 

kann mir das jemand mal erklären was das bedeutet und ein beispiel geben ........

 

Danke

Answer 1

Hi,

Was meinst Du mit "das bedeutet"?

 

Hast Du einen Bruch in der oben genannten Form und musst integrieren, dann genau wie die Formel es angibt:

Sei ∫  dx   / (3² + x²) zu bestimmen:

--> 1 / 3   *  arctan(x/3)   +   c

 

Das muss nicht extra errechnet werden, sondern ist dank Formelsammlung einfach bekannt ;).

Grüße

Comments

und wie macht man das ohne formelsammlung ? :)

---

Klammere 1/a^2 aus.

∫  dx   / (3² + x²) = 1/9∫  dx   / (1 + x²/a^2)

Das kannst Du dann mit u=x/a substituieren und dann direkt erkennen, dass

∫  1/(u^2+1) du wieder mit dem arctan zusammenhängt, solange Dir hier die Beziehung zum arctan bekannt ist. Und das sollte auf jeden Fall bekannt sein! ;)

---

Es gibt einfach ein paar elementare Integrale, die man einfach kennen muss und nicht weiter herleitet. Normalerweise musst Du die Herleitung dieser Integrale nicht kennen. (Also ich hab's noch nie gebraucht, wüsste aber auch nicht wie's geht).

---

das müsst doch log sein , ich komm iimmer auf   log(9+x² )  ?

---

Den log erhältst Du, wenn die Ableitung des Nenners im Zähler steht, was heir nicht der Fall ist. Nein, hier kommt der arctan ins Spiel. Wie Johann schon sagte, das ein oder andere muss/darf man wissen.

---

k dann ist das wohl wirklich zu hoch für mich , trotzdem danke :)