Bestimmtes Integral berechnen: 1/π ∫ x sin(kx) dx von -π/2 bis π/2.

Question

Bestimmtes Integral berechnen:

\( \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x · \sin (x k) ~dx \)

Answer 1

Integriere partiell. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration#Regel_der_partiellen_Integration

1/π ∫ x sin(kx) dx = 1/π ( x* (-1/k)* cos(kx) - ∫ 1*(-1/ k)* cos(kx) dx  )

= 1/π ( x* (-1/k)* cos(kx) + 1/k ∫ cos(kx) dx  )

= 1/π ( x* (-1/k)* cos(kx) + 1/k^2 sin(kx)) | -π/2^π/2

=1/π ( ( - π/(2k) * cos(kπ/2) + 1/k^2 sin(kπ/2) )) - 1/π (( π/(2k) * cos(kπ/2) - 1/k^2 sin(kπ/2))

|rot und blau aus Symmetriegründen 2 mal dasselbe

= 1/π ( ( - π/k * cos(kπ/2) + 2/k^2 * sin(kπ/2) ))

= -1/k cos(kπ/2) + 2/(πk^2) * sin(kπ/2)

Auf einem Bruchstrich schöner dargestellt entsprich das dem bk hier:

https://www.mathelounge.de/151696/koeffizenten-einer-fourier-reihe-f-x-x-fur-≤π-2-und-0-fur-π-2-x-≤π?show=156027#c156027

Comments

woher hast du am anfang dieses -1/k?

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Das kommt aus der linearen Substitution u = kx, die man in der Regel im Kopf macht.

Wenn du diesen Schritt zur Übung ausführlich rechnen möchtest:

u= kx

du/ dx = k

du/k  = dx = 1/k * du

∫ sin(kx) dx

= ∫ sin(u) *1/k du

= -cos(u) * 1/k  + C

= -1/k cos(u) + C     | Rücksubstitution

= -1/k cos(kx) + C