Bestimmtes Integral ∫ sin(x) e^ (x^4) dx von -1 bis 1 bestimmen.

Question

Hi, ∫

Ich soll den Wert des folgenden Integrals berechnen. Wenn ich den konventionellen Weg nehme mit Partieller Integration und Substitution scheint das einfach ewig zu gehen ohne ein Ende zu nehmen, ohne sich jedoch zu wiederholen. Nun denke ich, muss es bestimmt einen Trick geben, von dem ich nichts weiß.

$$ \int _{ -1 }^{ 1 }{ sin(x)*{ e }^{ { x }^{ 4 } } dx } $$

Meine bisherigen Berechnungen schreibe ich erstmal nicht hin, da die wohl keinen Sinn ergeben haben bzw. einfach endlos gehen.

Hat einer eine Idee, wie ich das machen kann? Selbst bei Wolframalpha kann kein Wert berechnet werden.

mfg Michael

Answer 1

Was kannst du über die Symmetrie der gegebenen Funktion sagen?

Das führt dich ohne jeglichen Rechenaufwand auf die gesuchte Lösung.

Comments

Also es herrscht Punktsymmetrie. Ist in dem Fall der Wert = 0 ? oder nicht existent ?

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Die Aussage "Es herrscht Punktsymmetrie" ist zwar irgendwie zutrefgfend, reicht als Begründung zum Hinschreiben des Ergebnisses aber noch  nicht aus.

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so richtige Antwort ? "Da Punktsymmetrie am Ursprung herrscht beträgt der Wert des Integrals Null." Oder was sonst soll mir die Symmetrie sagen ?

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Weil der (stetige) Integrand symmetrisch zum Ursprung ist (man sagt auch, er ist ungerade),  und das Integrationsintervall  symmetrisch zum Ursprung liegt, beträgt der Wert des Integrals Null.

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muss man das alles erkennen, um die Aufgabe lösen zu können. Weil ich hab jetzt nur indem ich mir den Graphen angeschaut habe gesehen, dass die Funktion Punktsymmetrisch ist. Oder kann man das auch berechnen?

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oder anders gesagt. Ist ein Integral Null, wenn der Integrant Punktsymmetrisch und stetig ist und die Werte nach denen integriert wird symmetrisch sind ?

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Den Graphen ansehen langt nicht, aber ...

Kannst du etwas zur Symmetrie von SIN(x) sagen ?

Kannst Du etwas zur Symmetrie von e^{x^4} sagen ?

Wie ist das wenn man das Produkt zweier symmetrischer Funktionen hat?

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Das kann man auch berechnen: \(f\) ist genau dann symmetrisch zum Ursprung (ungerade), wenn \(-f(-x)=f(x)\) für alle \(x\in \mathbb{D} \) gilt.