Wahrscheinlichkeit Betrunkener kommt im Dunkeln nach Hause. Anzahl der zum Öffnen der Tür benötigten Versuche.

Question

Aufgabe:

Ein Betrunkener kommt im Dunkeln nach Hause. Die Haustür ist abgeschlossen und er hat n Schlüssel in der Tasche, von denen nur einer passt. Er entnimmt seiner Tasche zufällig einen Schlüssel, probiert ihn und falls er nicht passt legt er ihn beiseite. Er probiert solange, bis er den passenden Schlüssel gefunden hat. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der zum Öffnen der Tür benötigten Versuche.

Berechnen Sie den Erwartungswert und die Streuung von X für beide Fälle.

Leider ist n nicht gegeben, womit sich die Wascheinlichkeit stetig ändert oder nicht?

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeit dass der Schlüssel passt ist ja \( \frac{1}{n} \)

Und die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht passt, ist \( \frac{n-1}{n} \). Es gibt also zwei Möglichkeiten. Reicht das schon?

Die Wahrscheinlichkeit dass er beim n-ten Schlüssel den richtigen hat ist:

\( \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n-1} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{n-i}{n-i+1} \cdot \frac{1}{n-i}=\frac{1}{n} \)