Pyramidenstumpf obere Kante a1, Höhe und Volumen angegeben. a2 berechnen?

Question

Hi,
ein Pyramidenstumpf hat die Höhe 15cm und die obere Kante a1 = 7cm ( normalerweise ist a1 immer die untere Kante, vielleicht Druckfehler). Sein Volumen beträgt 7291,2 cm³.

Berechne die Länge der unteren Kante a2.

Präzision: Es ist eine quadratische Pyramide.

Comments

Die Frage ist wohl nicht ganz vollständig gestellt.
Betrachtet ihr gerade regelmässige dreieckige oder quadratische Pyramiden?

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Ohh, tut mir leid. Es ist eine quadratische Pyramide ?

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Habe das so in der Frage angefügt.

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Ok, danke.

könnten Sie die Aufgabe lösen, denn Ihre Lösungen gefallen mir.

Answer 1

Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichne ich im Folgenden die Grundfläche des Pyramidenstumpfes mit G und seine Deckfläche mit D.

Zunächst sucht man in einer Formelsammlung nach einer Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfes und findet, dass für das Volumen eines Pyramidenstumpfes mit beliebiger Grundfläche, also auch für einen solchen mit quadratischer Grundfläche, gilt:

V = ( h / 3 ) * ( G + D + √ G * √ D )

wobei h die Höhe des Pyramidenstumpfes ist.

Da vorliegend die Grundfläche G (und damit auch die Deckfläche D) quadratisch sein sollen, kann man G bzw. D  durch ihre Kantenlängen g bzw. d ausdrücken, also:

G = g ² und D = d ²

Die Formel für das Volumen des Pyramidenstumpfes lautet dann:

V = ( h / 3 ) * ( g ² + d ² + g * d )

[Gesucht ist die Länge g der Grundflächenkante des Pyramidenstumpfes, also muss man diese Gleichung nach g auflösen:]

<=> ( 3 * V / h ) - d ² = g ² + g * d

[Für den Term auf der rechten Seite muss man nun die quadratische Ergänzung finden und diese auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens addieren. Die quadratische Ergänzung ist vorliegend ( g * d / ( 2 * g ) ) ² = ( d / 2 ) ² , also: ]

<=> ( 3 * V / h ) - d ² + ( d / 2 ) ² = g ² + g * d + ( d / 2 ) ²

[Die linke Seite der Gleichung fasst man zusammen, die rechte Seite kann man mit Hilfe der ersten binomischen Formel ebenfalls zusammenfassen:]

<=> ( 3 * V / h ) - ( 3 * d ² / 4 )  = ( g + ( d / 2 ) ) ²

[Auf der linken Seiten den Faktor 3 ausklammern:]

3 * ( ( V / h ) - d ² / 4 ) ) = ( g + ( d / 2 ) ) ²

[Auf beiden Seiten die Wurzel ziehen (gleichzeitig vertausche ich wegen der besseren Lesbarkeit die beiden Seiten der Gleichung) :]

<=> g + ( d / 2 ) = ± √ ( 3 * ( ( V / h ) - d ² / 4 ) ) )

<=> g = ± √ ( 3 * ( ( V / h ) - d ² / 4 ) ) ) - ( d / 2 )

Die Lösung mit der negativen Wurzel ist negativ und entfällt daher aus praktischen Gründen. Daher ist

g = √ ( 3 * ( ( V / h ) - d ² / 4 ) ) ) - ( d / 2 )

die einzige Lösung. Einsetzen der bekannten Werte ( V = 7291,2 cm ² , d = 7 cm, h = 15 cm ) ergibt:

g = 34,20 cm (gerundet)