Konvergenz einer Folge mit Summenzeichen

Question

Ich weiß hier nicht, wie ich am besten anfangen soll. Soll man hier Beschränktheit und monotomie zeigen?

Answer 1

Definiere die Folge \((b_n)_{n\in\mathbb N}\) durch \(\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n\frac k{n^3+k}\). Es gilt$$\vert b_n\vert=\left\vert\sum_{k=1}^n\frac k{n^3+k}\right\vert\le\sum_{k=1}^n\frac n{n^3}=\frac1n.$$Also ist \((b_n)\) eine Nullfolge. Rechne nach, dass \(a_n=1+\dfrac{n-1}nb_n\) ist. Schließe daraus Konvergenz und erhalte \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1\).

Comments

Ja ok gut ich weiß wie ich es dann zuende bringen muss!
Nur bekomme ich nicht hin, dass a_n = 1 + (n-1) / n * b_n sein soll.

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$$\quad1+\frac{n-1}nb_n=1+\frac{n-1}n\sum_{k=1}^n\frac k{n^3+k}=\sum_{k=1}^n\frac1n+\sum_{k=1}^n\frac{n-1}n\cdot\frac k{n^3+k}\\=\sum_{k=1}^n\left(\frac1n+\frac{(n-1)k}{n(n^3+k)}\right)=a_n.$$

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Ahja  Summe 1/n = 1... das hat mir gefehlt, Danke dir !