DGL y'=x^2, y(0)=pi die ersten 4 Koeffizienten der Potenzreihe bestimmen? Stimmt das?

Question

Hallo also angabe ist y'=x^2 und y(0)= pi

y=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+.... Daraus folgt -> a_0 = pi

y'= a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+......

Einsetzen in y'=x^2

=> a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+...... = x^2.   -> a_3=1/3

Also ersten 4 koeffizienten sind;

a_0 = pi

a_1 = 0

a_2 = 0

a_3 = 1/3

Hab ich es richtig gelöst oder muss man irgendwie anders lösen?

Answer 1

ja das ist richtig. Das Ergebnis kannst du auch überprüfen, indem du die DGL durch integrieren löst

y'=x^2---> y=1/3 x^3 +C

Mit AWB ist C=π.

Du solltest vielleicht noch aufschreiben ,

dass a_n=0 für n>3

Comments

Achso okay gut dass ich jetzt weiß wie ich prüfen kann. Was mache ich wenn es y'=xy^2 ist y(1)=1 ich will die ersten 4 koeffizienten wieder finden aber ich weiß nicht was ich mit diese y^2 mache

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Bei dieser Aufgabe ist es mit Potenzreihen schon wesentlicher schwerer ;).

Auf der rechten Seite steht ja y^2, du musst daher das Quadrat einer unendlichen Reihe bestimmen. Das geht mithilfe des Cauchyprodukts zweier Reihen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel

Allerdings entstehen dabei schwere Rekursionsgleichungen.

Ich komme dabei auf:

$$ a_{n+2}(n+2)=\sum_{k=0}^{n}{a_ka_{n-k}} $$

Benötigst du nur die ersten 4 Koeffizienten? Die kann man noch per Hand ausrechnen ;)

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Danke :) ist es sehr lange aufgabe biss wir auf die lösung kommen die du geschrieben hasst