Zeigen, dass Gruppenhomomorphismus nicht injektiv ist.

Question

Sei K ein Körper und A ∈ K^p×p eine Matrix mit A^m=0 für ein m ∈ ℕ.
Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus Φ_A: (K^p, +) → (K^p, +), der durch Φ_A(x) = A·x gegeben ist, nicht injektiv ist.

Ich habe schon mit Gruppenhomomorphismen gerechnet, aber hier verwirrt mich die Matrix. Kann mir jemand zeigen, wie man diese Aufgabe löst? Lg Laura ♥

Answer 1

Ein Homomorphismus ist injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.

Wegen A^m = 0 ist

        A^m · v = 0 für jedes v∈K^p.

Wegen der Assoziativität der Matrixmultiplikation ist dann

        A·(A^m-1 · v) = 0 für jedes v∈K^p.

Fall 1: A^m-1 · v ≠ 0 für ein v∈K^p. Mit diesem v ist dann A^m-1 · v ein von 0 verschiedenes Element des Kerns von Φ_A. Also ist in diesem Fall Φ_A nicht injektiv.

Fall 2: A^m-1 · v = 0 für alle v∈K^p. Dann ist wegen der Assoziativität der Matrixmultiplikation auch

        A·(A^m-2 · v) = 0 für jedes v∈K^p.

Mit der gleichen Fallunterschiedung findet man dann per Induktion ein von 0 verschiedenes Element des Kerns von Φ_A. Also ist auch in diesem Fall Φ_A nicht injektiv.

Comments

"oswald Meister der Matrizen"! Nochmal danke, das war wieder eine sehr hilfreiche Antwort (: