Sei f: Q*Q ->Q*Q ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie,dass:

Question

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Sei $$(\mathbb{Q}^2,+)$$ eine Gruppe mit der Verknüpfung $$(x,y) + (x´,y´)= (x+x´,y+y´)$$.

Für $$a \in \mathbb{Q} \land (x,y) \in \mathbb{Q}^2$$ schreiben wir auch $$a*(x,y)oderauch(a*x,a*y)$$

Schließlich sei $$f:\mathbb{Q}^2 \rightarrow \mathbb{Q}^2$$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:

(a)$$f(a*(x,y))= a* f(x,y), \forall a \in \mathbb{Z}$$(b)$$f(a*(x,y))= a* f(x,y), \forall a \in \mathbb{Q}$$(c)$$f(x,y)= x*f(1,0)+y*f(0,1)$$

(d) Es gibt eine Bijektion zwischen der Menge der Gruppenhomomorphismus $$\mathbb{Q}^2 \rightarrow \mathbb{Q}^2$$ und der Menge $$\mathbb{Q}^2 \times \mathbb{Q}^2$$

Ich bedanke mich schon mal im Voraus.

Comments

hast du schon mal eine Lösung für d

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Nein leider noch nicht

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LA ist schon heftig haha xD

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Hast du aufgabe 1 vollständig?

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Riecht mir sehr nach KIT hier ..

Wir sollten eine Lerngruppe bilden! xD

Answer 1

a)  f( 2*(a,b) ) = f ( a+a , b+b )  (Def. von + für Paare ergibt: )

=  f( (a,b) + (a,b) )     (  wegen Hom. )

= f(a,b) + f(a,b)    Das sind wieder 2 gleiche  Paare

= 2*f(a,b) .

Mit Induktion geht es auch statt 2 für  n ∈ ℕ.

Für n ∈ Z  muss man es nur für den Faktor -1 zeigen.

                    

Comments

Hallo danke erstmal für die Antwort

Ich habe mittels vollständiger Induktion folgendes gemacht

f( (a+1)*(x,y) ) = f( (a+1)*x , (a+1)*y ) = f( (ax,ay) + (x,y) ) = f( ax,ay) + f(x,y)

=> (?) a* f (x,y) + f (x,y) (?) = f (x,y) * (a+1).

Bei meinem Schritt mit dem Fragezeichen bin ich nicht sicher ob das geht weil es eigentlich f( a*(x,y) ) heißen müsste wenn ich mich nicht täusche.

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Bei meinem Schritt mit dem Fragezeichen bin ich nicht sicher ob das geht weil es eigentlich f( a*(x,y) ) heißen müsste

Genau, und dann aber im nächsten Schritt:

wegen der Ind. vor. also

=  a* f (x,y) + f (x,y)

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Okay danke aber wenn ich die vollständige Induktion auf die ganzen Zahlen anwende muss ich das doch erstmal wieder für n = -1 und dann für n-1 zeigen. oder?

Und in der (b) wie mache ich das mit den rationalen Zahlen?

gruß hakai

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das doch erstmal wieder für n = -1 und dann für n-1 zeigen. oder?

es reicht:      für n-1 zeigen.   ( kann ruhig bei +1 oder 0  anfangen

und das hast du schon.)

und bei b) geht es vielleicht so:

a ∈ℚ heißt, es gint p,q  mit p∈ℤ und q∈N und  a = p/q

f(  a * (x,y) ) = f(  (p/q) * (x,y) ) =

f( ( p* (1/q)) * (x,y) ) =  f( ( p* (1/q)) * (x,y) )

= f(    p * (x/q,y/q) )   und hier geht es ja wegen p∈ℤ

und dann wieder zurück .......... bis a*f(x,y).