Falls M ≠ ∅, so ist eine Abbildung f : M → N injektiv genau dann, wenn eine Abbildung g : N → M existiert mit
g(f(m)) = m für alle m ∈ M .
==>: Sei f : M → N injektiv , dann gilt für alle a,b aus M f(a) = f(b) ==> a=b
Sei nun m ∈ M . (Gibt es, weil M ≠ ∅ ) Definiere die Abbildung g : N → M mit
g(x) = n, falls es ein n ∈ M gibt mit f(n)=x
und g(x) = m anderenfalls.
Dann ist dadurch eine Abbildung definiert, da für jedes x∈N klar ist, ob es ein n ∈ M gibt mit f(n)=x
oder nicht. Und im Falle : "es ein n ∈ M gibt mit f(n)=x " gibt es eben genau eines, da f injektiv ist.
Sei nun m ∈ M , dann ist f(m) ∈ N und es gilt nach Def. von g: g(f(m)) = m.
Umgekehrt: <=== Es gibt eine Abb. g : N → M mit g(f(m)) = m für alle m ∈ M .
Seien nun a,b ∈ M mit f(a) = f(b) ==> g(f(a)) = g(f(b)) , weil g eine Abbildung ist.
===> a = b , wegen der Bedingung : g(f(m)) = m für alle m ∈ M .
