Ableitungen und Asymptotenfunktion

Question

Ich habe die Funktion f(x) = ( x³-x ) / ( x²-3x+2 ).

Für diese Fkt. muss ich Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und die Asymptotenfunktion bestimmen.

Als Nullstellen habe ich x1=0, x2=1 und x3=-1 ?

Als Asymptotenfunktion habe ich g(x)=2x-1 ?

Zu den Ableitungen weiß ich das ich die Quotientenregel anwenden, jedoch habe ich Probleme die Gleichung zu vereinfachen. Hätte da jemand eine Rechnung für mich, bzw. einen Schubs?

Hinweis:
Klammern in der ersten Zeile nachgetragen.

Comments

Hast du Dividend und Divisor geklammert? Falls nein: Warum nicht?

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Ja, das habe ich getan. Daher auch die Nullstellen so. Jedoch bekomme ich die Ableitungen nicht verkürzt.

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Ich sehe keine Klammern...

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Das ist ja die Funktion so wie sie in der Aufgabe beschrieben ist.

Ansonsten ist es x(x+1)(x-1)/(x-2)(x-1)

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In der Aufgabe wurde vermutlich ein waagerechter Bruchstrich verwendet, bei dem die Klammern um Zähler und Nenner unsichtbar sind. Sobald du einen Divisionsoperator in Zeilenschreibweise benutzt, müssen die Klammern wieder her!

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Achso, ja selbstverständlich. Konnte die Aufgabe leider nur so übernehmen, das original hat natürlich einen waagerechten Bruchstrich.

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Ich setze mal die fehlenden Klammern und du sagst dann, ob das so richtig ist!

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Alles klar, das machen wir so.

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Ja, so stimmt die Funktion. Nun meine Fragen, ob die Nullstellen so richtig sind und ob die Asymptotenfunktion stimmt?

Und wie ich die 1. und 2. Ableitung möglichst vereinfacht darstellen kann.

Answer 1

Du kannst kürzen:

x^3-x = x(x^2-1) = x(x+1)(x-1)

x^2-3x+2= (x-2)(x-1)

Answer 2

Definitionslücken von f sind x=2 und x =1 . 

f(x) = (x(x+1)(x-1))/((x-2)(x-1))  , für x≠1 . 

= (x(x+1))/(x-2)   . 

D.h. bei x = 1 gibt es eine hebbare Definitionslücke. x = 2 ist eine vertikale Asymptote, x= 0 und x= -1 sind Nullstellen von f. 

Bei der schrägen Asymptote stimmt etwas nicht: 

~plot~ ( x^3-x ) / ( x^2-3x+2 );x=-1;x=0;x=1;2x-1;x+3 ~plot~

Die gelbe Linie passt nicht an die Kurve. y = x+3 scheint mir besser zu passen.

Was hast du gerechnet? 

Polynomdivision könnte mit dieser Form y =  (x(x+1))/(x-2) = (x^2 + x )/(x-2) passieren. 

Alternative

y =  (x(x+1))/(x-2) = (x^2 + x )/(x-2) = (x^2 - 2x + 2x + x) / (x-2) 

= (x(x-2) + 3x)/(x-2)

= x + 3x/(x-2) 

= x + (3x - 6 + 6)/(x-2)

= x + 3 + 6/(x-2) 

Davon ist "für x gegen unendlich" nur x+3 relevant. 

Comments

Also die Nullstellen, sowie der Definitionsbereich und die Definitionslücke habe ich so auch. Bei der Asymptote dachte ich, das Zähler und Nenner dividiert werden müssen, somit kam ich auf dieses Resultat.

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Das wäre schon okay. Da hast du irgendwo einen Rechenfehler drinn. Meine Asymptote habe ich inzwischen rechnerisch bestätigt.

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Ja, das passt. Habe gerade noch einmal gerechnet, nun bin ich bei deinem Ergebnis, hab mich an einer Stelle der Polynomdivision vertan.

Nun stellt sich mir nur noch das Problem der Ableitungen, könntest du mir dort ebenfalls etwas unter die Arme greifen?

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Du kannst nun eigentlich einfach

f(x) =  x + 3 + 6/(x-2)  , für x≠1  und auch x≠2. 

ableiten. 

f '(x) = 1 + 6*ln( |x-2| ) , wobei x ≠ 1 und auch x≠2. 

Für die Definitionslücken brauchst du keine Ableitung angeben. 

In der hebbaren Defitionslücke x=1 stimmt die Steigung im Prinzip schon. Aber man müsste erst mal die Funktion dort so definieren, dass sie stetig ist und kein Loch hat.