Funktion hat keinen Grenzwert in xo=0. Beweis? Aufgabe 1. M= {1/k , k€N } c R ...

Question

Wie Beweise ich, dass eine Funktion keinen Grenzwert hat?

Answer 1

Betrachte zwei Folgen a_n und b_n, die beide den Grenzwert 0 haben.

Gäbe es einen Grenzwert, dann müsste bei beiden die Folge der

Funktionswerte gegen diesen Grenzwert gehen.

Wählst du etwa  a_n = 1/n   und  b_n = √2/n

Dann sind die Folgenglieder von a_n alle in M, also die Funktionswerte alle gleich 1,

aber bei b_n sind die Folgenglieder alle nicht im M (weil irrational) also alle Funktionswerte gleich 0.

Damit haben die Folgen der Funktionswerte verschiedene Grenzwerte

==> Die Funktion hat dort keinen GW.

Comments

Kann ich das so beweisen, obwohl es sich ja nur um Funktionen handelt ? Also ist ein Beweis mit Folgen erlaubt?

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Lies doch mal deine Definitionen und Sätze

Entweder als Satz oder als Def. habt ihr vermutlich sowas wie:

f hat an der Stelle x_o den Grenzwert g

<=> Für jede Folge x_n mit Grenzwert x_o gilt lim f(xn) = g

so etwa.
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion)#Definition_mit_Hilfe_von_Folgen

Du kannst es aber auch mit eps-delta formulieren, wenn du bedenkst, dass es immer

in jeder Umgebung von 0 Funktionswerte sowohl mit 1 als auch mit 0 gibt.