Abzählung rationaler Zahlen mithilfe von Funktion einer Summe, zeige Stetigkeit

Question

Hallo liebe Leute :)

diese Woche habe ich eine sehr merkwürdige Aufgabe vor mir liegen, wo mir ein bisschen der Ansatz fehlt. Ich habe sie mal hochgeladen:

Ich verstehe die Funktion noch nicht recht. Habe ich bespielsweise f(1), dann habe ich abzählbar unendlich rationale zahlen, die ich aufsummiere, nämlich alle rationalen Zahlen kleiner als 1. sagen wir die rationale Zahl 1/2 wäre r1. ist dann n=1? ist dies dasselbe n, das in 2^-n steht?

Answer 1

> sagen wir die rationale Zahl 1/2 wäre r1. ist dann n=1?

Ja.

> ist dies dasselbe n, das in 2^-n steht?

Ja. Wo sollte das n auch sonst herkommen.

Zu Beschränktheit: ∑_n=0..∞ 2^-n ist obere Schranke, Null ist untere Schranke.

Zur Monotonie: Ist x < y, dann ist f(x) = ∑_rn<x 2^-n < ∑_rn<x 2^-n + ∑_x≤rn<y 2^-n = ∑_rn<y 2^-n = f(y) wegen absoluter Konvergenz.

Comments

Hey danke für deine Antwort. Dass 0 eine untere Schranke ist, ist mir intuitiv klar. Was meinst du mit der oberen Schranke, wo kommt das ∞ her?

meinst du $$ \sum _{ { r }_{ n }<x }^{ \infty  }{ { 2 }^{ -n } }  $$ oder $$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { 2 }^{ -n } }  $$ ?

Falls Zweiteres, ist mir nicht klar, warum man das bei n=0 starten lassen darf.

---

> wo kommt das ∞ her?

Zur Berechnung von f(x) nimmt man eine echte unendliche Teilmenge M ⊂ ℕ und addiert alle 2^-m, für die mit m ∈ M ist.

Für die obere Schranke habe ich alle 2^-n addiert, für die n ∈ ℕ ist.

> warum man das bei n=0 starten lassen darf.

Hat man eine obere Schranke, dann ist auch jede größere Zahl eine obere Schranke.

---

oke, danke. ich habe noch eine Frage zu der Monotonie:

Warum ist ∑_rn<x 2^-n + ∑_x≤rn<y 2^-n = ∑_rn<y 2^-n ?

---

ah schon gut, habs gesehn ;)