Mit welcher Umdrehungszahl muss sich die Turbine drehen, damit die Leistung mindestens 10000W erzielt?

Question

Die Leistung P einer Turbine hängt von der Drehzahl n ab. Die Funktionsgleichung P(n)=300n-0,8n^2 gibt die Leistung der Turbine in Watt an.

mit welcher Umdrehungszahl muss sich die Turbine drehen, damit die Leistung mindestens 10000W erzielt?

Answer 1

Nun, da musst du doch lediglich den Funktionsterm der Leistungsfunktion größer gleich dem gewünschten Wert setzen und nach n auflösen, also:

300 n - 0,8 n ² ≥ 10000

[Dividieren durch - 0,8 (Achtung: Dabei kehrt sich wegen des negativen Vorzeichens das Ungleichheitszeichen um!) :]

 <=> n ² - 375 n ≤ - 12500

[Quadratische Ergänzung ermitteln und auf beiden Seiten addieren: ]

<=> n ² - 375 n + 187,5 ² ≤ 187,5 ² - 12500 = 22656,25

[linke Seite mit Hilfe der zweiten binomischen Formel zusammenfassen:]

<=> ( n - 187,5 ) ² ≤ 22656,25

[Wurzel ziehen:]

<=> | n - 187,5 | ≤ 150,52

[Betrag auflösen:]

<=> n - 187,5 ≤ 150,52 ODER - n + 187,5 ≤ 150,52

<=> n ≤ 338,02 ODER n ≥ 36,98

Also: Wenn man annimmt, das n ganzzahlig sein soll, dann gilt:

Die Turbine erzielt eine Leistung von mindestens 10000 W dann, wenn für ihre Drehzahl n gilt: 37 <= n <= 338

Hier ein Schaubild der Leistungsfunktion, an der man das Ergebnis überprüfen kann:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=300n-0.8n%C2%B2+

Answer 2

Hi

 

P(n) = 300n-0,8n²

P = 10 000 W;

P ≤ P(n);

300n-0,8n² ≥ 10 000 W; | -10 000 W

300n-0,8n² -10 000 W ≥ 0; | *(-1)

0,8*n^2 -300*n +10 000 W ≤ 0; | /0,8

n^2 -375*n +12 500 W ≤ 0;

n₁ = 338,02 U/min; n₂=36,98 U/min;

 

Im Bereich von 36,98 U/min ≤ n ≤ 338,02 U/min hat die Turbine die Leistung von mindestens 10 000 W.

 

lg JR