Hi,
es gibt (m+n)! Möglichkeiten wie du die Personen am Tisch ordnen kannst. Woher kommt deine -1?
Ich erkläre das mal Schritt für Schritt und nicht ganz mathematisch korrekt (siehe erste Gleichung):
Sei Z unsere gesuchte Zahl. Es gilt:
$$Z = (m+n)! - \text{"Anzahl der Möglichkeiten, dass zwei Frauen nebeneinander sitzen"}$$
Wir überlegen uns mal wie viele Kombinationen es gibt, dass 2 Frauen nebeneinander sitzen, wenn es insgesamt m Frauen gibt und der Tisch nicht rund ist. Können uns ja eine Sitzbank vorstellen:
Ist m=1, so gibt es 0 Kombinationsmöglichkeiten.
Ist m=2, so gibt es 1 Kombinationsmöglichkeit.
Ist m=3, so gibt es 3 Kombinationsmöglichkeiten.
Ist m=4, so gibt es 6 Kombinationsmöglichkeiten.
Mache dir das einfach mal anhand von m=1 bis m=4 klar. Wir erhalten folgendes Ergebnis:
Ist m die Anzahl der Frauen so gibt es
$$\sum_{i=1}^{m-1} i = \frac{(m-1) \cdot m}{2}$$
Kombinationsmöglichkeiten.
Wir können o.B.d.A. annehmen, dass die erste Frau, die wir uns anschauen, an einem Ende der Sitzbank ist. Nun ist der Tisch aber rund, d.h. auch wenn eine Frau am Ende unserer Sitzbank sitzt, würde sie an unserem Tisch neben der ersten Frau sitzen. Somit gibt es also noch (m-1) Kombinationsmöglichkeiten je Frau mehr wie zwei Frauen nebeneinander sitzen können, da jeder der restlichen m-1 Frauen (alle außer der, die ganz am Anfang der Sitzbank sitzt) ja am Ende der Sitzbank sitzen könnten. Wie die restlichen (m+n-2) Personen sitzen, ist egal. Es gibt (m+n-2)! Kombinationsmöglichkeiten wie diese sitzen können.
D.h., dass, was wir in unserer ersten Gleichung abziehen müssen, ist $$ \left( \frac{(m-1) \cdot m}{2} \cdot (m-1) \right) \cdot (m+n-2)!.$$
Wir erhalten also:
$$A=(m+n)!- \frac{(m-1)^2 \cdot m}{2} \cdot (m+n-2)! $$
Ich hoffe, dass das alles so stimmt. Wenn nicht, kann mich gerne jemand korrigieren.
