Stetigkeit zeigen auf ganz R zeigen. f(x) = √(4+x^2)

Question

Ich hab eine Funktion f:R->R welche definiert ist durch

$$ \sqrt { 4+x^ 2 } $$ Ich soll mit der Epsilon-Delta Definition zeigen, dass diese Funktion auf ganz R stetig ist.

Also es gilt ja: |x-x0| < Delta und |f(x)-f(x0)|<Eps.

Habe es eingesetzt und angefangen umzuformen, aber komme an einer Stelle nicht mehr weiter.

$$ \frac { |x-x0|\partial  }{ \sqrt { 4+x0^ 2 }  } $$

Aber wie bekomme ich jetzt das x weg?

Comments

Wegen f(x) solltest du auch unter der Wurzel auch noch irgendwo 4 + x^2  haben. Zeige mal deine Umformung. So einfach verschwindet das vermutlich nicht. 

Ausserdem hast du ja nur noch einen Bruch und keine Gleichung mehr (?) 

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Dürfte man das in der h-Notation wie folgt machen

Für eine stetige Funktion sollte gelten

lim (h --> 0) f(x+ h) - f(x) = 0

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√(x^2 + 2·h·x + h^2 + 4) - √(x^2 + 4)

= (√(x^2 + 2·h·x + h^2 + 4) - √(x^2 + 4))·(√(x^2 + 2·h·x + h^2 + 4) + √(x^2 + 4)) / (√(x^2 + 2·h·x + h^2 + 4) + √(x^2 + 4))

= 2·h·x + h^2 / (√(x^2 + 2·h·x + h^2 + 4) + √(x^2 + 4))

lim (h --> 0)

= 0 / (2√(x^2 + 4))

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|f(x)-f(x0)|= $$ \sqrt { 4+x^ 2 } -  \sqrt { 4+x0^ 2 } $$

= $$ \frac { x^ 2-x0^ 2 }{ \sqrt { 4+x^ 2 } +\sqrt { 4+x0^ 2 }  } $$ Stimmt das erstmal bis hierhin? Und wie kann ich dann weitermachen?

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Wenn x Gegen x0 geht, dann kannst du im Zähler und Nenner hier x durch x0 ersetzen.

Du bildest den Grenzwert x --> x0.

Da wir durch einsetzen, keinen Unbestimmten Ausdruck erhalten sollte das doch möglich sein oder nicht?

Answer 1

Dein Anfang ist doch schon OK.

Du kannst dann aus x² - x₀² auch (x - x₀ )(x+x_o) machen und 

du hast auch den Betrag vergessen, dann gibt es 

(Nenner ist ja eh positiv)

|  (x - x₀ )(x+x_o) |  /  ( √(4+x²) + √(4+x₀²) )

=   | x - x₀  |  *  | x+x_o |  /  ( √(4+x²) + √(4+x₀²) )    #

und dann mal ein wenig abschätzen:

√(4+x²) + √(4+x₀²) >  |x| +| x_o |  ≥ |x +x_o |

also ist #  <  | x - x₀  |  *  | x+x_o |  / | x +x_o |

                 =    | x - x₀  | 

Also reicht es  δ = ε zu wählen.    Das macht auch Sinn:  Die Ableitung ist immer kleiner als 1.

Comments

wie seid ihr auf das x² - x₀²  gekommen?