Zeigen Sie, dass die Funktion f: R -> Rf(x)= x^2 - 2x + 3 auf ganz R stetig ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion f: R -> Rf(x)= x^2 - 2x + 3 auf ganz R stetig ist.

Ansatz/Problem:

Ich dachte daran, diese Aufgabe mit dem ε-δ-Kriterium zu lösen.

Stimmt der Ansatz? Im Prinzip wäre das doch schon eine Lösung für δ oder?

\( \operatorname{sei} \varepsilon > 0 \quad:\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon \quad \forall x \in D:\left|x-x_{0}\right|<\delta \)
\( \begin{aligned}\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right| : ~ \left|x^{2}-2 x+3- {x_{0}}^{2}-2 x_{0}+3\right| &<\varepsilon \\ x^{2}-x_{0}^{2} &<\varepsilon+2 x-3+2 x_{0}-3 \end{aligned} \)
\( x-x_{0}<\sqrt{ \varepsilon+2 x-3+2 x_{0}-3} \)

Comments

Das Problem ist mE, dass du rechts unter der Wurzel noch x und xo also im Prinzip 2δ hast.

Ersetze vielleicht x durch xo + δ  und lösen dann nach δ auf.

Nötigenfalls noch 2. Fall mit xo - δ rechnen.

EDIT: Wohl nicht nötig. Es sind glaub ich 2 x + 2xo , d.h. etwa 4xo . Kontrolliere aber erst noch deine Vorzeichen in deiner 2. Zeile!

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komme hier auf keine lösung, gibt es vielleicht eine andere möglichkeit außer das epsilon-delta-kriterium?

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Hi, du bist gar nicht auf Lu's Kommentar eingegangen. Außerdem machen deine Umformungen mal so gar keinen Sinn.

Deine Umformungen funktionieren so nicht. Insbesondere die letzte mit dem Wurzelziehen.

Answer 1

Ersetze vielleicht x durch xo + δ  und lösen dann nach δ auf.

(xo+d)^2 - 2(xo+d) + 3 - (xo^2 - 2xo + 3) < e

Noch folgende Auflösung machst du besser selbst.

|xo^2 + 2xo*d + d^2 - 2xo -2d  + 3 - xo^2   + 2xo - 3| < e

|  2xo*d + d^2  -2d  | < e

| d( 2xo + d  -2 ) | < e          |d,e beide >0 und d<1.

Ich schätze jetzt ab und füge einen Zwischenterm ein.

| d( 2xo + d  -2 ) | ≤ d *  ( 2|xo| + |d| + |2|  ) < d* ( 2|xo| + |1| + |2|  )  < e

d < min{ e/ ( 2|xo| + |1| + |2|  ) , 1}

Damit d kleiner ist, teile ich beide Möglichkeiten noch durch 2.

d = min{ e/ (2( 2|xo| + |1| + |2| ) ) , 1/2}