Kann man f stetig auf ganz ℝ fortsetzen?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4. Die Funktion \( f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \),
\( f(x)=\frac{1-\cos ^{2} x}{x^{2}}, \)
ist stetig auf \( \mathbb{R}-\{0\} \). A priori ist sie durch obigen Ausdruck nicht für \( x=0 \) definiert. Kann man \( f \) stetig auf ganz \( \mathbb{R} \) fortsetzen? Mit anderen Worten: Existiert eine stetige Funktion \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( g(x)=f(x) \) für alle \( x \neq 0 \) ? (Beweisen Sie Ihre Antwort.)

Problem/Ansatz:

meine Antwort war, dass es keine stetige Funktion gibt, ich glaube aber auch, dass man Umgang mit cos. falsch ist, idk, oder ist es richtig und es gibt keine?

Answer 1

\(f(x)=\frac{1-\cos ^{2} x}{x^{2}}=\frac{\cos ^{2} x+\sin^{2} x-\cos ^{2} x}{x^{2}}=\frac{\sin^{2} x}{x^{2}}=( \frac{\sin x}{x})^2\)

Und weil \( \lim \limits_{x \to 0}  \frac{\sin x}{x} = 1 \) ist, gilt das auch für \( ( \frac{\sin x}{x})^2\)

also kann man durch g(0)=1 stetig ergänzen.

Comments

Bedeutet dieses Hoch 2 wirklich hoch 2 von sin? Und kann man das auch so schreiben sin^2 x = (sin x) ^ 2

Und wieso ist 1 = cos^2 x + sin2 x

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Dumme frage gewesen, haha

Aber sollte das g(x) nicht ohne x=0 zeigen, da wir x->0 setzten machen wir doch genau das

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Das g(x) müsste man wohl so defnieren

g(x)=f(x) für x≠0 und g(0)=1.