Extrapolation der Mittelpunktsregel basierend auf Schrittweiten

Question

Aufgabe:

Sei a > b und f ∈ C² ([a,b]). Zur numerischen Berechnung des Integrals \( \int\limits_{a}^{b} \)f(x) dx verwenden wir die Mittelpunktsregel.

a) Zeigen Sie, dass die Mittelpunktsregel exakt auf P1 ist.
b) Geben Sie eine Fehlerabschätzung für die Mittelpunktsregel an.
c) Führen Sie eine Extrapolation der Mittelpunktsregel basierend auf den beiden Schrittweiten h₀ = (b-a)
und h₁ = h₀/2 aus.

Problem/Ansatz:

a) Integral von p(x) = mx + b und (b-a)f(\( \frac{a+b}{2} \)) ausrechnen und vergleichen.
b) |Q(f) -\( \int\limits_{a}^{b} \) f(x)dx| = |Q(p) - \( \int\limits_{a}^{b} \) f(x)dx| ≤ \( \int\limits_{a}^{b} \) p(x) - f(x) dx ≤ \( \frac{||f''||}{2!} \)(x-\( \frac{a+b}{2} \))² Ausrechnen liefert \( \frac{||f''||}{24} \)(b-a)³
c) Bei der c habe ich echt keine Ahnung und ich wüprde mich freuen, wenn jemand helfen würde.

Comments

c) \( \frac{1}{3} \) T_h - 4T_h/2

mit T_h = (b-a) f(\( \frac{a+b}{2} \)) und T_h/2 = (\( \frac{b-a}{2} \))(f(\( \frac{a+c}{2} \))+f(\( \frac{c+b}{2} \))) mit c = \( \frac{a+b}{2} \)
Dann oben einsetzen.

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Und Dein Ergebnis bei a)?

Bei b) stimmt einiges nicht: Es fehlen einmal Beträge, was genau ist \(\|f''\|\), und rechts steht was mit \(x\), links aber eine Konstante?!

Und zu c): Ähnlich wie bei Deiner vorigen Frage: Die Idee von Aufgaben ist, die Inhalte der Vorlesung anzuwenden. Also, was weißt Du über Extrapolation? Was steht dazu konkret(!) in der Vorlesung? Darauf aufbauend kann man helfen. Auch im Internet findest Du die Begriffe und unzählige Beispiele, relevant ist aber Deine Vorlesung.

Answer 1

Zu a) und b): siehe oben.

Zu c): Dein \(T_h\) und \(T_{h/2}\) stimmen, aber die Extrapolation nicht. Zur Kontrolle: Du willst das Integral annähern, nimmst dazu 4 Näherungswerte und subtrahierst 1/3 von einem. Das gibt etwas wie 3.66 Näherungswerte und damit keine gute Näherung für das Integral.

Irgendwas hast Du gerechnet, vlt stimmt Deine Idee, vlt nicht. Kann man erst sehen, wenn Du Deine Rechnung/Überlegung darlegst. Mach das.

Comments

a und b sind eigentlioch geklärt, habe die richtigen Ergebnisse und nur unschön aufgeschrieben.
Bei der c meinte ich \( \frac{1}{3} \) (T_h - 4T_h/2).

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Dann wende auf Deine korrigierte Formel auch obige Überschlagsrechnung an. Außerdem fehlt weiterhin Deine Rechnung (mit Begründungen und Bezug zur Vorlesung), um helfen zu können.

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Kann es sein, dass die Formel \( \frac{1}{3} \cdot \left( 4 \cdot T_{h/2} - T_h\right) \) lautet?

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Ja stimmt. Danke. Habe das Vorzeichen einfach nicht beachtet.

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Gut. Dann brauchst du jetzt nur noch einsetzen und vereinfachen. Bekommst du das hin?

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Es ist nicht gesagt, dass das erwartet wird. Der E-Schritt ist ja ausgeführt.

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Genau, das war's schon.