Bestimme α ∈ ℝ, sodass f auf ganz ℝ stetig ist.

Question

Aufgabe:

Bestimme α ∈ ℝ, sodass f auf ganz ℝ stetig ist.

Problem/Ansatz:

Wenn ich über den rechtsseitige Grenzwert gehe, stehe ich vor dem Problem, dass der untere Ausdruck für x=1 nicht definiert ist, da der Nenner sonst zu 0 wird. Was genau bedeutet das konkret auf diese Beispiel bezogen und wie löse ich die Aufgabe - mit Begründung wäre lieb!

Bedeutet das, dass die Funktion für kein a in R stetig ist?

Answer 1

Dein letztes Argument ist falsch; denn f(1) ist definiert. Es ist f(1)=0.5a.

Zu prüfen ist, ob der rechtsseitge Funktionsgrenzwert existiert.

Dafür kannst Du folgende Zerlegung verwenden:

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

Damit kannst Du für x>1 den Faktor (x-1) in Zähler und Nenner kürzen und dann direkt den rechtsseitigen Funktionsgrenzwert ausrechnen.

Answer 2

(keine Gewähr)

wenn du in den unteren Teil x=1 einsetzt, kriegst du 0/0, weswegen du l'Hospital verwenden kannst:

Also du leitest den Zähler und Nenner jeweils nach x ab, dann berechnest du den Grenzwert des Bruchs für x->1, da kannst du es, da der Nenner dann ungleich 0 ist.

Danach berechnest du den Grenzwert des oberen Bruchs für x nach 1 und setzt dann diesen gleich den Grenzwert vom unteren Bruch, welcher nach l'Hospital gerechnet wurde, und kannst dann alpha bestimmen.

Comments

L'hospital hatte ich noch nicht. Gibt es denn keinen Weg über Folgenstetigkeit bzw. Epsilon-Delta Kriterium?

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Ich habe mir das Ganze jetzt nochmal länger angeschaut und bin der Meinung, dass die Funktion wegen dem unterem Abschnitt nicht stetig ist. Das Folgenstetigkeitskriterium ist doch verletzt. Die Bedingung, dass die Funktion in 1 stetig ist, erforderlich, dass eine beliebige Folge (x_n), die rechtsseitig bzw. linksseitig gegen 1 konvergiert, ihr Funktionswert f(x_n) gegen f(1) konvergiert. Das sollte doch rechtsseitig verletzt sein, da f(1) nicht definiert ist.

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Mit L'Hospital wäre es einfach gewesen. Schau einfach auf die Antwort von Mathhilf.