Nullstellen von e^2x-2e^x-3

Question

$$y=\textrm{e}^{2x}-2\textrm{e}^x-3$$

Ich soll die Nullstellen berechnen.

Ich habe leider keinen Ansatz und finde auch im Internet nichts, was mir weiter hilft.

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Schau mal unten bei den ähnlichen Aufgaben. Das sollte Dir zeigen, wie man so etwas löst.

Answer 1

Substituiere \(z = e^x\).

Diese Antwort ist an den Fragesteller gerichtet und nicht an MC .

Comments

Du hättest dabeischreiben sollen, dass diese Antwort an den Fragesteller und nicht an MC gerchtet ist.

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Danke für den Hinweis. Ich werde das in alle meine zukünftigen Antworten einbauen.

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Das wird ihn sowieso nicht daran hindern, die Aufgabe - mal wieder - vorzurechnen. Man kennt es doch nicht anders. Moliets liefert dann wie immer den Weg ohne Substitution und Kandidat Nr. 3 kommt dann mit einer reinen Termumformung und präsentiert das als kurzen Weg. Also alles wieder immer.

Daher gibt es hier einen Daumen von mir. :)

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Etwa so?

$$e^{2x} - 2e^{x} -3 = (e^{x} - 3)(e^{x} + 1) = 0$$

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Ja, die Umformung von \(e^{2x} - 2e^{x} -3\) zu \((e^{x} - 3)(e^{x} + 1)\) ist korrket.

Answer 2

e^(2·x) - 2·e^x - 3 = 0

Subst. e^x = z

z^2 - 2·z - 3 = 0

Faktorisieren mit dem Satz von Vieta

(z + 1)·(z - 3) = 0

z = -1 → x = ln(-1) ist keine Lösung

z = 3 → x = ln(3)

Answer 3

Weg ohne Substitution:

\(e^{2x}-2e^{x}-3=0\)

\((e^{x}-\frac{2}{2})^2=3+(\frac{2}{2})^2=4|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(e^{x}-1=2\)

\(e^{x}=3\)

\(x\cdot \ln(e)=\ln(3)\)     mit   \(\ln(e)=1\) 

\(x_1=\ln(3)\)

2.)

\(e^{x}-1=-2\)

\(e^{x}=-1\)

\(x_2=\ln(-1)=\ln(i^2)\)  Ist keine Lösung in ℝ.

Answer 4

Ich soll die Nullstellen berechnen.
Ich habe leider keinen Ansatz...

Hier ist ein Ansatz mit einem kurzen, aber vollständigen Weg zum Ergebnis über die binomischen Formeln:
$$ \begin{aligned} 0 &= \textrm{e}^{2x}-2\textrm{e}^x-3 \\ &= \left(\left(\textrm{e}^x\right)^{2}-2\textrm{e}^x+1\right)-4 \\ &= \left(\textrm{e}^x-1\right)^{2}-2^2 \\ &= \left(\textrm{e}^x-1-2\right)\cdot\left(\textrm{e}^x-1+2\right) \\ &= \left(\textrm{e}^x-3\right)\cdot\left(\textrm{e}^x+1\right) \\ &= \left(\textrm{e}^x-3\right). \end{aligned} $$ Daraus ergibt sich \(x=\ln(3)\) als einzige Lösung.

...und finde auch im Internet nichts, was mir weiter hilft.

Mein erster Versuch mit DeepSeek liefert gleich mehrere mögliche, sehr ausführliche Rechenwege. Das ist zwar nicht so schön kurz und übersichtlich wie mein Vorschlag, aber doch sehr beeindruckend. ChatGPT wird das sicher auch können.

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Die letzte Gleichung ist iwi falsch

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Die letzte Gleichung ist iwi falsch

Aus der vorletzten Gleichung $$0 = \left(\textrm{e}^x-3\right)\cdot\left(\textrm{e}^x+1\right)$$ lässt sich der in R stets von Null verschiedene, zweite Faktor herauskürzen, womit sich die letzte Gleichheit ergibt.

Die Äquivalenz der beiden letzten Gleichungen in R (und damit im Rahmen der Schulmathematik) ist also gegeben.

Mehr wollte ich nicht behaupten.

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So wie Du es aufgeschrieben hast, ist es falsch. Mehr wollte ich nicht sagen.

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Du kannst jederzeit eine verbesserte Version notieren. Noch bin ich aber nicht überzeugt.

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Die Gleichung

$$(e^x-3)(e^x+1)=(e^x-3)$$

Ist (allgemein) falsch.

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Ich habe aber $$0=(e^x-3)(e^x+1)=(e^x-3)$$ geschrieben.

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Genau das hat mathhilf ja gesagt, und das letzte =-Zeichen stimmt eben nicht.

Die Äquivalenz der beiden letzten Gleichungen

Hier (in der Antwort) stehen auch keine Gleichungen, sondern eine Umformungskette. Und der letzte Umformungsschritt ist falsch.

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Sorry wenn ich die Unterhaltung störe - aber warum ist die Schreibweise des Titels unterschiedlich. Ist mir auch schon bei anderen Aufgaben

aufgefallen…

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Interessante Beobachtung

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Ich schreibe es mal etwas anders auf:$$ \begin{aligned} 0&=(e^x-3)(e^x+1) \\ &\Leftrightarrow \\ 0&=(e^x-3) \\ \end{aligned} $$ Das habe ich gemeint und so kann es auch gedeutet werden.

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und so kann es auch gedeutet werden.

Kann es nicht, denn deine Darstellung ist eindeutig eine Gleichungskette. Von Äquivalenzumformungen steht da nichts. Und eine Mischung aus beidem ist noch schlimmer. Das wird dir auch jeder Mathematiker so bestätigen, weil es niemand so macht. Hättest du stets auf der linken Seite die 0 geschrieben, könnte man es trotz fehlender Äquivalenzpfeile als solche deuten. So wie es notiert ist, allerdings nicht.

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Genau. Kann man nicht so deuten. Warum tun sich manche so schwer zu sagen, ok, hab ich nen Fehler gemacht? Wo ist das Problem? Diese peinlichen Versuche das mutmaßliche Image zu retten bewirken doch nur das Gegenteil.

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Die letzte Gleichung ist iwi falsch

So, ich habe noch einmal über meine Antwort nachgedacht. Die letzte Gleichung in der Gleichungskette aus meiner Antwort ist für sich alleine, also unabhängig von der Gleichungskette, falsch. Die letzte Gleichung muss also weg. Vielen Dank für die entsprechenden Hinweise.