E-Funktion. Die Nullstellen von f(x)= 2e^2x-e^x berechnen.

Question

Hallo ,

wie komm ich hier zur Nullstelle?

E Funktion latenight die Nullstelle von f(x)=2e^2x-e^x

Comments

was soll das mit der latenight ?

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Es keinen Zusammenhang mit der Aufgabe. Einfach weil es schon spät ist.

Answer 1

f ( x ) = 2 * e^{2*x} - e^x
2 * e^x * e^x - e^x = 0
e^x * ( 2 * e^x - 1 ) = 0
2 * e^x - 1 = 0
e^x = 1 / 2
x = ln ( 1/ 2 )
x = - ln ( 2 )

Comments

Danke, mich wundert nur, dass ich es so und so schreiben kann.

x = ln ( 1/ 2 )
x = - ln ( 2 )

Ist es schöner oder genauer so hinzuschreiben x = - ln ( 2 )?

Grüße

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Auch dieser Lösungsweg ist richtig, da ein Produkt 0 ist, wenn auch nur 1 Faktor 0 ist.

Und auch wenn viele hier wieder meckern sollten "aber mein Lehrer hat gesagt, dass e^x nie 0 werden kann"

lautet die 2. Lösung x₂ = log(0) = - ∞

Denn 2*e^-∞ - e^-∞ = 0 - 0 = 0.

oder anders:   e^-∞ *a = 0 mit abs(a) < ∞

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Es ist weder "schöner" noch genauer, da selbe math. Konstante: -A002162

Es hat 2 Gründe, warum Programme wie WolframAlpha so kürzen:

a) -log(2) hat genau 1 Zeichen weniger  (man nimmt gern Primzahlen statt Brüche innerhalb von log)

b) vom reinen Zahlenwert von log(2) sind zig Stellen seit Jahren bekannt  http://oeis.org/A002162

und Shigeru Kondo's Weltrekord liegt bei  200,000,000,050 digits (über 200 Mrd. Stellen):

http://www.numberworld.org/digits/Log(2)/ 

Das negative Vorzeichen ist dabei "nur ein kleiner Strich davor"

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@bahamas

x = ln ( 1/ 2 )
x = - ln ( 2 )
Ist es schöner oder genauer so hinzuschreiben x = - ln ( 2 )?

Es ist nicht genauer. Ob es schöner ist weiß ich nicht,
aber es ist eine Berechnung weniger

x = ln ( 1 / 2 )
x = ln ( 1 ) - ln ( 2 )
x = 0 - ln ( 2 )
x = - ln (2 )

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@hyperG
In deinem 1.Kommentar ist einiges falsch

Und auch wenn viele hier wieder meckern sollten "aber mein
Lehrer hat gesagt, dass e^x nie 0 werden kann" 

Denn 2*e^-∞ - e^-∞ = 0 - 0 = 0. 

Das ist ein Widerspruch : zuerst sagst du e^x kann nie 0 werden,
dann rechnest du mit e^{-∞} ist gleich 0.

Merke : die e-Funktion ist stets oberhalb der x-Achse und
damit stets > 0.

Weiterhin gilt
lim x−> -∞ [e^x] = 0 ( besser geht gegen 0(+) )

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Bulletproof erklärt! Danke

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Genau wie ich es prophezeit habe: es gibt Protest. Und dann auch noch die gegenteilige Behauptung, ich hätte gesagt , dass e^x nie 0 werden kann.

Im Gegenteil: ich sagte, dass exp(-unendlich)=0 ist und nur Leute mit eingeschränktem Zahlenbereichsdenken den bekannten Lehrer-Satz zitieren.

Für Schüler mag das auch zutreffen, aber Forscher müssen sich die Frage gefallen lassen:

Was ist denn nun bitte exp(-unendlich) ? Solche Ausflüchte wie " 0(+) statt 0" oder "unendlich ist keine Zahl also auch kein Ergebnis"

möchte ich da nicht hören.

Hier soll auch kein Schüler gegen seinen Lehrer aufgehetzt, sondern das Denken "über den Tellerrand" - was wir bei Forschern brauchen - gefördert werden.

Und wer auch noch den Zahlenbereich der komplexen Zahlen kennt, der kommt auf das endgültige Ergebnis:

x = 2*Pi*n*i - log(2) mit n = ... -2,-1,0,1,2,...

Probe:

2*e^{2*x}-e^x ,x=-inf ergibt 0 (ob nun mit oder ohne lim Schreibweise)

...

2*e^{2*x}-e^x ,x=[-2*Pi*(10^10)*i-log(2)] ergibt 0

...

2*e^{2*x}-e^x ,x=2*Pi*(-1)*i-log(2) ergibt 0

2*e^{2*x}-e^x ,x=2*Pi*( 0)*i-log(2) ergibt 0

2*e^{2*x}-e^x ,x=2*Pi*( 1)*i-log(2) ergibt 0

2*e^{2*x}-e^x ,x=2*Pi*(10)*i-log(2) ergibt 0

...

2*e^{2*x}-e^x ,x=[2*Pi*(10^10)*i-log(2)] ergibt 0

...

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@hyperG
Ich weiß gar nicht wovon du redest.

Hier zunächst nochmals die Lösung der Ausgangsfrage

x = -0.69

Desweiteren : ∞ ist kein fester Wert, keine Zahl.

e^{∞} kann daher auch kein fester Wert oder eine Zahl sein
Es gibt die Schreibweise
lim x −> -∞ [ e^x ] = 0 ( + )
limes x geht gegen minus unendlich der Funktion e^x geht
gegen 0 ( von oben )

mfg Georg

Answer 2

$$ 2e^{2x}-e^x=0 $$

$$ 2e^{x +x}-e^x=0 $$

$$ 2\cdot  e^{x } \cdot e^{x }-e^x=0 $$

$$ 2\cdot \left(e^{x }\right)^2-e^x=0 $$

$$s=e^x $$

$$ 2\cdot s^2-s=0 $$

Comments

Hi, was meinst du mit ''s'' Substitution? Kannst du mir zeigen, wie es mit dem ln geht ?Grüße

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richtig erkannt - s wie Substitution.

Nun ist auf eine quadratische Gleichung reduziert, die leicht zu lösen ist.

Anschliessend resubstituieren und nach x auflösen nicht vergessen.

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Vollkommen richtig. s₁ und s₂ bekommt man mit der bekannten pq-Formel leicht heraus. Rücksubstitution mit der Umkehrfunktion s=e^x  ergibt

x=log(s)

Und auch wenn viele hier wieder meckern sollten "aber mein Lehrer hat gesagt, dass e^x nie 0 werden kann"

lautet die 2. Lösung x₂ = log(0) = - ∞

Denn 2*e^{-∞} - e^{-∞} = 0 - 0 = 0.