E-Funktion. Die Nullstellen von f(x)= 2e^2x-e^x berechnen.

Question

Hallo ,

wie komm ich hier zur Nullstelle?

E Funktion latenight die Nullstelle von f(x)=2e^2x-e^x

Comments

was soll das mit der latenight ?

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Es keinen Zusammenhang mit der Aufgabe. Einfach weil es schon spät ist.

Answer 1

f ( x ) = 2 * e^{2*x} - e^x
2 * e^x * e^x - e^x = 0
e^x * ( 2 * e^x - 1 ) = 0
2 * e^x - 1 = 0
e^x = 1 / 2
x = ln ( 1/ 2 )
x = - ln ( 2 )

Comments

Danke, mich wundert nur, dass ich es so und so schreiben kann.

x = ln ( 1/ 2 )
x = - ln ( 2 )

Ist es schöner oder genauer so hinzuschreiben x = - ln ( 2 )?

Grüße

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@bahamas

x = ln ( 1/ 2 )
x = - ln ( 2 )
Ist es schöner oder genauer so hinzuschreiben x = - ln ( 2 )?

Es ist nicht genauer. Ob es schöner ist weiß ich nicht,
aber es ist eine Berechnung weniger

x = ln ( 1 / 2 )
x = ln ( 1 ) - ln ( 2 )
x = 0 - ln ( 2 )
x = - ln (2 )

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Das man

ln(1/2) = -ln(2)

schreibt hat einen recht einfachen Hintergrund. Früher konnte man in Tabellenwerken den ln(2) nachschlagen und das Ergebnis dann näherungsweise angeben.

Im Tabellenwerk fand man also

ln(2) ≈ 0.6931

Den ln(1/2) fand man in den Tabellenwerken allerdings nicht.

Aus dem gleichen Grund hat man früher bei Brüchen teilweise radiziert und den Nenner rational gemacht

√(1/2) = √(2/4) = √2/2 = 1/2·√2

Im Zeitalter der Rechenmaschinen ist das allerdings nicht mehr nötig. Trotzdem darf man als Schüler gerne wissen, dass √2 ≈ 1.4 gilt und somit 1/2·√2 ≈ 0.7

Answer 2

$$ 2e^{2x}-e^x=0 $$

$$ 2e^{x +x}-e^x=0 $$

$$ 2\cdot  e^{x } \cdot e^{x }-e^x=0 $$

$$ 2\cdot \left(e^{x }\right)^2-e^x=0 $$

$$s=e^x $$

$$ 2\cdot s^2-s=0 $$

Comments

Hi, was meinst du mit ''s'' Substitution? Kannst du mir zeigen, wie es mit dem ln geht ?Grüße

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richtig erkannt - s wie Substitution.

Nun ist auf eine quadratische Gleichung reduziert, die leicht zu lösen ist.

Anschliessend resubstituieren und nach x auflösen nicht vergessen.

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Vollkommen richtig. s₁ und s₂ bekommt man mit der bekannten pq-Formel leicht heraus. Rücksubstitution mit der Umkehrfunktion s=e^x  ergibt

x=log(s)

Und auch wenn viele hier wieder meckern sollten "aber mein Lehrer hat gesagt, dass e^x nie 0 werden kann"

lautet die 2. Lösung x₂ = log(0) = - ∞

Denn 2*e^{-∞} - e^{-∞} = 0 - 0 = 0.