Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in Prozent), dass die Rendite des Portfolios zwischen 5.45 und 5.84 ist?

Question

Aufgabe:

Die unabhängigen Zufallsvariablen \( R_{i} \) mit \( i=1,2,3,4,5 \) seien Renditen von 5 verschiedenen Wertpapieren. Die Renditen \( R_{i} \) sind normalverteilt mit folgendem Erwartungswert und folgender Varianz:

\( R_{i} \sim\left\{\begin{array}{ll} N(3.8,1.6), & i=1,2 \\ N(3.5,8.4), & i=3,4,5 \end{array}\right. \)
Die Rendite eines Portfolios \( \left(R_{p}\right) \) setzt sich aus den obigen Wertpapieren mit folgender Gewichtung zusammen: \( R_{p}=0.6 R_{2}+0.4 R_{4} \).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in Prozent), dass die Rendite des Portfolios zwischen \( 5.45 \) und \( 5.84 \) ist? (Eingabe bitte auf zwei Nachkommastellen.)

Mein Rechenweg:

Rp <- 0.6+0.4
a <- 0.6*3.8+0.4*3.5
b <- (0.6^2)*1.6+(0.4^2)*8.4

a1 <- (5.45-a)/sqrt(b)
round(a1,1)
a1 <- 0.912

a2 <- (5.84-a)/sqrt(b)
round(a2,1)
a2 <- 0.951

a2-a1
0.039*100

Leider ist die Antwort falsch.

Answer 1

Ich rechne einfach mal nach:

\( R_{p}=0.6 R_{2}+0.4 R_{4} \Rightarrow\)

\(R_{p} \sim N(\mu,\sigma^2)\) mit

\(\mu = 0.6\cdot 3.8 + 0.4\cdot 3.5 = 3.68\)

\(\sigma^2 = 0.6^2\cdot 1.6 + 0.4^2\cdot 8.4 = 1.92\)

Gesucht:

\(P(5.45 < R_p < 5.84) = P\left(\frac{5.45-\mu}{\sigma} < \underbrace{\frac{R_p-\mu}{\sigma}}_{\sim N(0,1)} < \frac{5.84-\mu}{\sigma}\right) \approx 4.1\%\)

Rechnung ist hier.