Ich versuche mal was zu a)
In jedem Vektorraumgibt es ja eine Multiplikation von Elementen des
Grundkörpers mit den Vektoren. Häufig wird die S-Multiplikation genannt.
Etwa im ℝ-Vektorraum ℝ2 kann man rechnen 3* ( 1;5 ) oder so, in den
"einfachen" Vektorräumen heißt das dann auch schon mal Zahl*Vektor.
Im ℂ - Vektorraum ℂ sind sowohl die "Zahlen" als auch die "Vektoren" Elemente
von ℂ , man kann also rechnen i*1 = i indem man die "Zahl" i mit dem Vektor 1
multipliziert und erhält so den Vektor i.
Wenn man aber einen Vektor mit einer Zahl so multiplizieren kann, dass der
andere Vektor dabei entsteht, dann sind die beiden linear unabhängig, hier also
sind 1 und i linear unabhängig.
Hat man nur "Zahlen" aus ℝ zur Verfügung, kann man keine Zahl finden, die
mit der 1 multiplizier i ergibt (das soll das 1*ℝ ≠ i heißen). Also sind in diesem
Fall 1 und i linear unabhängig.
Ähnlich ist es bei b) Der Pfiff ist, dass √2 irrational ist, es gibt also keine
rationale Zahl, die mit 1 multipliziert √2 ergibt.
