Integration von verketteten Cosinusfunktion und Sinusfunktionen

Question

Ich komme bei der Integration von folgenden Funktionen leider nicht weiter. Löst man diese Aufgaben durch Substitution oder wie macht man das?

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!!

Answer 1

Hi,

wenn du cos(x) integrierst, erhältst du ja sin(x).

Wenn du allerdings nun cos(x/2) integrierst, erhältst du 2 · sin(x/2).

Zur Überprüfung leiten wir mal ab:
$$(2 \cdot sin(\frac{x}{2}))' = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot cos(\frac{x}{2})$$

Hierbei ist die 1/2 die zwischen der 2 und cos(x/2) steht die innere Ableitung, d.h. die Ableitung von x/2.

Versuche den Rest mal selbst und melde dich, wenn du nicht weiter kommst.

Answer 2

ja das löst man im allgemeinen mit Substitution. Allerdings handelt es sich bei deinen Beispielen um die Verkettung einer Funktion mit einer linearen Funktion, da kommt durch die innere Ableitung ein Faktor hinzu. Es ist demnach

$$ \int f(ax+b)dx =\frac{1}{a}F(ax+b)+C $$

Bei deinem zweiten Beispiel ist a=2 und b=0, dann ist 

$$ \int sin(2x)dx =-\frac{1}{2}cos(2x)+C $$

Jetzt noch die Grenzen einsetzen und fertig.

Answer 3

Tipp:
a) Substituiere u = x/2
du/dx = 1/2
2 * du = dx
Nun das dx durch 2 du ersetzen.
cos(u) integrieren.
Dann rücksubstituieren und zum Schluss noch die Grenzen einsetzen.
b) analog.