Aufgabe:
Die Funktion f kann als Verkettung u v aufgefasst werden. Nennen Sie Funktionen u und v.
c) f(x) = (e^x - 5)^2
d) f(x) = e^x^2 + 1
e) f(x) = √x+ 3
f) f (x) = √3x
Problem/Ansatz:
ich habe bereits zwei Aufgaben zu dem Thema Verkettung gelöst. Da würde ich mich einmal freuen, wenn jemand, dem das leicht fällt einmal schnell rüber guckt, damit ich weiß ob das richtig ist.
Bei dieser Aufgabe jetzt hingegen weiß ich leider nicht weiter und würde mich daher über Hilfe freuen, da ich sie nicht lösen kann.
Außerdem konnte ich auch bei Aufgabe 5.) a nicht lösen, und würde mich da sehr über Unterstützung freuen.
Text erkannt:
4 Bilden Sie die Verkettungen \( f(x)=u(v(x)) \) und \( g(x)=v(u(x)) \).
a) \( u(x)=1-x^{2} ; v(x)=(1-x)^{2} \)
b) \( u(x)=(x-1)^{2} ; v(x)=x+1 \)
c) \( u(x)=e^{x} ; v(x)=x+1 \)
d) \( u(x)=\sqrt{2 x} ; v(x)=x-1 \)
e) \( u(x)=\frac{1}{x+1} ; v(x)=e^{x} \)
f) \( u(x)=2-x ; v(x)=e^{x} \)
5 Es ist \( f(x)=u(v(x)) \). Vervollständigen Sie die Tabellen.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline & \( v(x) \) & \( u(x) \) & \( f(x) \) \\
\hline a) & \( x^{3} \) & \( 3 x+1 \) & \\
\hline b) & & \( x^{2} \) & \( \left(x^{2}+1\right)^{2} \) \\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c}
\hline & \( v(x) \) & \( u(x) \) & \( f(x) \) \\
\hline c) & \( x^{2}-4 \) & & \( \frac{1}{2\left(x^{2}-4\right)} \) \\
\hline d) & & \( 2 \cdot \sqrt{x} \) & \( 2 \sqrt{3-0,5 x} \) \\
\hline
\end{tabular}
6 Die Funktion \( f \) kann als Verkettung u०v aufgefasst werden. Nennen Sie Funktionen \( u \) und \( v \).
\( f(x)=\frac{1}{x^{2}-1} \)
b) \( f(x)=\frac{1}{x^{2}}-1 \)
c) \( f(x)=\left(e^{x}-5\right)^{2} \)
d) \( f(x)=e^{x^{2}+1} \)
e) \( f(x)=\sqrt{x+3} \)
f) \( f(x)=\sqrt{3 x} \)
g) \( f(x)=2^{x-3} \)
h) \( f(x)=3 e^{\sqrt{x+2}} \)
Text erkannt:
BuchS.102 N. 4.
b) \( u(x)=(x-1)^{2} ; v(x)=x+1 \) \( \begin{array}{ll}g(x)=v(u(x)) & \text { b) } u(x)=(x-1)^{2} ; v(x)=x+1 \\ a) v(x)=1-x^{2} ; v(x)=(1-x)^{2} & g(x))=(x-1)^{2}+1\end{array} \) \( g(x) v(u(x))=\left(1-\left(1-x^{2}\right)\right)^{2} \)
c)
d)
\( \begin{array}{ll} u(x)=e^{x} ; v(x)=x+1 & u(x)=\sqrt{2 x} ; v(x)=x-1 \\ f(x)=v(u(x))=e^{x}+1 & g(x)=r(v(x))=\sqrt{x-1} \end{array} \)
5.)
\( f(x)=u(v(x)) \)
a) \( f(x)= \)
b) \( r(x)=\left(\left(x^{2}\right)^{2}+1\right)^{2} \)
c) \( v(x)=\left(\frac{1}{2\left(x^{2}-4\right)}\right)^{2}-4 \)
d) \( r(x)=\sqrt{3-0,5} \cdot \sqrt{x} \)
Text erkannt:
Buch S. 102 Nr. 4
\( \begin{array}{ll}g(x)=v(u(x)) & b) u(x)=(x-1)^{2} ; v(x)=x+1 \\ a) v(x)=1-x^{2} ; v(x)=(1-x)^{2} & g(x)=v(u(x))=(x-1)^{2}+1\end{array} \)
\( g\left(v_{i} v(u(x))=\left(1-\left(1-x^{2}\right)\right)^{2}\right. \)
\( \begin{array}{ll}\text { c) } & \text { d) } \\ v(x)=e^{x} ; v(x)=x+1 & v(x)=\sqrt{2 x} ; r(x)=x-1 \\ f(x)=v(v(x))=e^{x}+1 & g(x)=r(v(x))=\sqrt{x-1}\end{array} \)
5.)
\( f(x)=u(v(x)) \)
a) \( f(x)= \)
b) \( v(x)=\left(\left(x^{2}\right) 9+1\right)^{2} \)
c) \( v(x)= \)
d) \( r(x)=\sqrt{3-0,5} \cdot \sqrt{x} \)
Text erkannt:
4 Bilden Sie die Verkettungen \( f(x)=u(v(x)) \) und \( g(x)=v(u(x)) \).
a) \( u(x)=1-x^{2} ; v(x)=(1-x)^{2} \)
b) \( u(x)=(x-1)^{2} ; v(x)=x+1 \)
c) \( u(x)=e^{x} ; v(x)=x+1 \)
d) \( u(x)=\sqrt{2 x} ; v(x)=x-1 \)
e) \( u(x)=\frac{1}{x+1} ; v(x)=e^{x} \)
f) \( u(x)=2-x ; v(x)=e^{x} \)
5 Es ist \( f(x)=u(v(x)) \). Vervollständigen Sie die Tabellen.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline & \( v(x) \) & \( u(x) \) & \( f(x) \) \\
\hline a) & \( x^{3} \) & \( 3 x+1 \) & \\
\hline b) & & \( x^{2} \) & \( \left(x^{2}+1\right)^{2} \) \\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c}
\hline & \( v(x) \) & \( u(x) \) & \( f(x) \) \\
\hline c) & \( x^{2}-4 \) & & \( \frac{1}{2\left(x^{2}-4\right)} \) \\
\hline d) & & \( 2 \cdot \sqrt{x} \) & \( 2 \sqrt{3-0,5 x} \) \\
\hline
\end{tabular}
6 Die Funktion \( f \) kann als Verkettung u०v aufgefasst werden. Nennen Sie Funktionen \( u \) und \( v \).
\( f(x)=\frac{1}{x^{2}-1} \)
b) \( f(x)=\frac{1}{x^{2}}-1 \)
c) \( f(x)=\left(e^{x}-5\right)^{2} \)
d) \( f(x)=e^{x^{2}+1} \)
e) \( f(x)=\sqrt{x+3} \)
f) \( f(x)=\sqrt{3 x} \)
g) \( f(x)=2^{x-3} \)
h) \( f(x)=3 e^{\sqrt{x+2}} \)
