Integral einer verketteten ln funktion mit Substitution lösen?

Question

Aufgabe:

Ich soll das integral einer verketteten in funktion berechen: integral von ln(x)/x

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre die Substitution. Also integral von f(x)dx ist integral von f(phi(u))*phi'(u)du

Also rechne ich u=ln(x)

Dann sind x=e^u =phi

Die ableitung von Phi ist dann u*e^u

dx=u*e^u du

Dann substiuiere ich

Integral von ln(x)/x dx = integral von u/e^u * ue^u du

Durch integrieren und resubstituieren komme ich aber auf ein falsches Ergebnis... was habe ich denn falsch gemacht?

Answer 1

∫ ln(x) / x dx

= ∫ ln(x) / x dx

= ∫ 1/x * ln(x) dx

Subst. ln(x) = z und 1/x dx = 1 dz

= ∫ 1/x * z * x dz

= ∫ z dz

= 1/2·z^2 + C

Resubst

= 1/2·(ln(x))^2 + C

Comments

Erst verlangt ihr eigenständige Lösungsversuche des FS und dann geht ihr auf seine Frage   was habe ich denn falsch gemacht? nicht mit einem einzigen Wort ein.

Der Fehler liegt in der Ableitung von e^u

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Achso dann lag der Fehler in der Ableitung:

Mit der Ableitung 1/u * e^u funktioniert es... endlich :)))

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Die Ableitung von e^u ist einfach nur e^u. Nicht mehr.

Mit meiner Antwort wollte ich darauf hinweisen, dass du nicht unbedingt die Umkehrfunktion beim Substituieren bilden brauchst.

Bei Bedarf kann ich das aber auch nochmal mit deinem Weg vormachen.

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Aaaaaachso.... das macht natürlich Sinn.. ich habe es jetzt nochmal mit der richtigen ableitung gerechnet und da kommt das richtige raus.. ich habe bei der falschen ableitung 1/u *e^u nochmal ein Fehler gemacht, wodurch wieder das richtige raus gekommen ist. Aber mit der richtigen ableitung und keinem Fehler stimmt das Ergebnis.

Danke :)

Answer 2

Aloha :)

Bei dem Integral$$\int\frac{\ln(x)}{x}\,dx=\int\frac{1}{x}\cdot\ln(x)\,dx=\frac{1}{2}\ln^2(x)+\text{const}$$ist der Integrand das Produkt aus einer Funktion und ihrer Ableitung. Ein solches Integral kannst du sofort hinschreiben:$$\int f'(x)\cdot f(x)\,dx=\frac{1}{2}[\,f(x)\,]^2+\text{const}$$Das kommt in der Praxis oft vor, deswegen wollte ich diesen "Trick" hier noch angeben ;)

Comments

Das kommt in der Praxis oft vor

Mit "Praxis" sind wohl die Übungsaufgaben #13 bis #28 gemeint.

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Vielen Dank den Trick kannte ich nicht :) das ist natürlich praktisch zu wissen