Gerade und Ebene: Schnittwinkel berechnen

Question

Aufgabe:

\( \left(\begin{array}{c}-10 \\ 11 \\ -12\end{array}\right) \)

Sei \( g \) die Gerade durch \( P_{0} \) und \( P_{1} \) sowie \( E \) die Ebene durch \( P_{1}, P_{2} \) und \( P_{3} \).
Bestimmen Sie

i) den Abstand des Punktes \( P_{0} \) von \( E \),

ii) den Abstand des Punktes \( P_{2} \) von \( g \),

iii) den Schnittwinkel der Geraden \( g \) mit \( E \).

Runden sie die Ergebnisse ggf. auf 2 Nachkommastellen.

Comments

Was hattet ihr bisher,

Lotfußpunktverfahren?
Hessesche Normalform?

Nichts davon`?
Beides?

Answer 1

g: X = [1, -2, -3] + r·[-5, 7, -3]

E: X = [-4, 5, -6] + r·[11, -13, 15] + s·[-6, 6, -6]
n = [11, -13, 15] ⨯ [-6, 6, -6] = [-12, -24, -12] = -12·[1, 2, 1]
E: x + 2·y + z = 0

i)
d = (x + 2·y + z - 0)/√(1^2 + 2^2 + 1^2)
d = (1 + 2·(-2) + (-3) - 0)/|[1, 2, 1]| = -√6 = -2.449

ii)
d = |([7, -8, 9] - [1, -2, -3]) ⨯ [-5, 7, -3]| / |[-5, 7, -3]| = 6/83·√14442 = 8.687

iii)
α = ASIN(|[-5, 7, -3]·[1, 2, 1]| / (|[-5, 7, -3]|·|[1, 2, 1]|)) = 15.60°

Das Vormachen hier entbindet dich nicht die Grundlagen im Lehrbuch nachzulesen.