Grenzwerte von Funktionen. Bestimmen Sie lim f(x) wenn x→2 (mit Hilfe der ersten Aufgabe) .

Question

EDIT: Kopie aus Kommentar "Aufgabe: Bestimmen Sie lim f(x) wenn x→2 (mit Hilfe der ersten Aufgabe) 

Also die erste Aufgabe war: Sei f: [0,∞)→ℝ definiert durch f(x)=√x. Zeigen Sie, dass lim f(x) = f(a) wenn x→a für alle a≥0.   "

Halli

ich soll den lim von folgender Funktion bestimmen: (x²-√(6+5x))/(x-2)

Ich schaff es aber irgendwie nicht, diese Funktion so umzustellen das ich folgende Aussage verwenden kann: lim f(x) = f(a) wenn x→a, für alle a≥0.

LG meghan16

Comments

Ist
"  lim f(x) = f(a) wenn x→a, für alle a≥0."
denn die Behauptung?
Für x=2 klappt das nicht, da f(2) gar nicht definiert ist.

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Wir sollen den Grenzwert der oben genannten Funktion mit Hilfe einer vorherigen Aufgabe ausrechnen, in der wir "lim f(x) = f(a) wenn x→a, für alle a≥0" bewiesen haben.

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Wie könnte ich denn sonst noch den Grenzwert ausrechnen?

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@meghan16: Wie wäre es denn, wenn du die ganzen Voraussetzungen auch noch angeben würdest? Vgl. Schreibregeln: Vollständige Fragestellungen … 

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Also die erste Aufgabe war: Sei f: [0,∞)→ℝ definiert durch f(x)=√x. Zeigen Sie, dass lim f(x) = f(a) wenn x→a für alle a≥0.

Bei der zweiten Aufgabe habe ich gegeben:Sei  D:=(2,∞) und sei f:D→ℝ gegeben durch f(x)= (x²-√(6+5x))/(x-2)

Aufgabe: Bestimmen Sie lim f(x) wenn x→2 (mit Hilfe der ersten Aufgabe)

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"Aufgabe: Bestimmen Sie lim f(x) wenn x→2 (mit Hilfe der ersten Aufgabe) "

Das ist nun die entscheidende Information, die du in der Fragestellung unterschlagen hattest. Das ist die Fragestellung ! 

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Die erste Antwort erlaubt es dir im entscheidenden Moment (Grenzübergang) einfach unter der Wurzel für x->2 einfach die 2 einzusetzen. 

Natürlich muss erst (x-2) im Nenner irgendwie weg. Dafür hat Wolfgang einen Rechenweg eingestellt. 

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'tschuldigung, das hab ich wirklich vergessen.

das (x-2) im Nenner wegzubekommen war auch mein Problem gewesen

Answer 1

geht es vielleicht um den Grenzwert für x gegen 2 ???

Dann versuche es doch mal mit  

f(2+a) = ( (2+a)²-√(6+5*(2+a))/(2+a-2)

      = ( 4+4a +a²-√(16+5*a))  /  a 

      =     4   +   a  + (4 -√(16 +5a)   )  / a )

Für a gegen 0  sind die ersten beiden Summanden problemlos

und den dritten muss man noch was untersuchen

(4 -√(16 +5a)   )  / a ) erweitern mit (4 + √(16 +5a)   )  gibt

= (    4 -√(16 +5a)   ) * (4 +√(16 +5a)   )   /    ( a * (4 +√(16 +5a)   )  )

= (16 -(16 +5a)   )               /    ( a * (4 +√(16 +5a)   )  )

=    -5a          /    (a * ( 4  +√(16 +5a)   )  ) 

Jetzt a kürzen gibt 

=    -5          /    ( 4  +√(16 +5a)   )  

Das geht für a gegen 0 dann gegen  -5/8 .

Also ist der Grenzwert insgesamt

4 + 0  -5/8  =  3,375 .

Das passt auch zum Graphen:

~plot~  (x^2-sqrt(6+5x))/(x-2) ~plot~