Sind bestimmte Vektoren in einer linearen Hülle enthalten?

Question

Die Aufgabe lautet wie folgt: 

Gegeben seien die Vektoren aus R^4, bestimmen Sie alle reellen Zahlen x und y , sodass der Vektor υ = (1,1,x,y) in lin (v1, v2, v3, v4) liegt.

Als erstes habe ich die Vektoren in einem LGS zusammengefasst und danach den Gauß angewendet. 

Nun sieht man, dass die Dimensionen der Vektoren nicht übereinstimmen, denn die lineare Hülle hat die Dimension 4 wobei v nur die Dimension 3 hat. Reicht das um zu argumentieren, dass v nicht in der linearen Hülle liegt oder liege ich hier falsch? 

MfG

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hab gerade bemerkt dass ich mich beim gauß verrechnet habe. 

Answer 1

für alle x, y, die die Gleichung y = 4 - 3 x erfüllen, ist v eine Linearkombination der Vektoren v_1, ... v_4.

Grüße

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Danke für die Antwort. 

Wie oben bereits erwähnt habe ich mich beim Gauß verrechnet. Ab diesem Moment komme ich nicht weiter, sie haben recht, dass die Vektoren v1,..,v4 linear Unabhängig sind, jedoch muss ich alle reellen Zahlen angeben für die das LGS eine Lösung hat. Also muss ich alle Ergebnisse für y+3x = 4 angeben. Ich könnte y = x = 1 setzen und würde auf eine Lösung kommen, aber y = 3 und x = 1/3 wäre auch möglich. Die Möglichkeiten die Gleichung zu Lösung sind im reellen Bereich unendlich. Deshalb weiß ich nicht recht ob hier ein Fallunterschied passend ist. Ich würde so vorgehen:

Falls y+3x ≠ 4:

LGS hat keine Lösung ⇒ v ist nicht in der linearen Hülle enthalten. 

Falls y+4x = 4:

LGS hat eine Lösung ⇒ für jede Zahl x,y∈ℜ die die Gleichung y+4x = 4 erfüllt ist v in der linearen Hülle enthalten. (Bzw. da 0 = 0 im LGS stehen würde, hätte das LGS unendlich viele Lösung.)

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Ah, okay! Ich hatte die Aufgabe nicht mitgerechnet. Wenn die Matrix jetzt stimmt, dann sind die Vektoren v1, ... v4 wegen der Nullzeile linear abhängig.

Falls y+3x ≠ 4:
LGS hat keine Lösung ⇒ v ist nicht in der linearen Hülle enthalten.
Falls y+4x = 4:
LGS hat eine Lösung ⇒ für jede Zahl x,y∈ℜ die die Gleichung y+4x = 4 erfüllt ist v in der linearen Hülle enthalten. (Bzw. da 0 = 0 im LGS stehen würde, hätte das LGS unendlich viele Lösung.)

Ja, die Argumentation ist schlüssig. Da die x, y gesucht sind, für die v in der lin. Hülle von v1, ... v4 liegt, kannst du den ersten Teil der Argumentation weglassen und z.B.schreiben: Für alle x, y, die die Gleichung y = 4 - 3 x erfüllen, ist v eine Linearkombination der Vektoren v1, ... v4. Was im Endeffekt das gleiche ist, was du schon geschrieben hast(hast dich bloß bei der 4 statt der drei vertippt). Ich habe aufgrund der neuen Situation meine Antwort geändert und -. es ist okay, wenn du micht duzt.
Grüße

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Danke für deine ausführliche Hilfe. 

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Sehr gern, danke für den Stern! :-)