Antwort mit KI erzeugt
Grenznutzen der beiden Güter berechnen
Zunächst berechnen wir den Grenznutzen der beiden Güter \(x\) und \(y\) aus der gegebenen Nutzenfunktion \(U(x, y) = x^{0,25} \cdot y^{0,75}\). Der Grenznutzen eines Gutes in einer Nutzenfunktion gibt die Änderung des Nutzens an, die aus einer zusätzlichen Einheit dieses Gutes resultiert, während die Menge des anderen Gutes konstant gehalten wird.
a)
Grenznutzen von Gut x:
Der Grenznutzen von \(x\), bezeichnet als \(MU_x\), wird durch die partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach \(x\) bestimmt.
\(MU_x = \frac{\partial U(x, y)}{\partial x} = \frac{\partial (x^{0,25} \cdot y^{0,75})}{\partial x} = 0,25 \cdot x^{-0,75} \cdot y^{0,75}\)
Grenznutzen von Gut y:
Der Grenznutzen von \(y\), bezeichnet als \(MU_y\), wird durch die partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach \(y\) bestimmt.
\(MU_y = \frac{\partial U(x, y)}{\partial y} = \frac{\partial (x^{0,25} \cdot y^{0,75})}{\partial y} = 0,75 \cdot x^{0,25} \cdot y^{-0,25}\)
Die Präferenzen sind
monoton, weil der Grenznutzen für beide Güter positiv ist. Das bedeutet, dass mehr von einem Gut immer zu einem höheren Nutzen führt und zeigt somit an, dass die Präferenzen des Studenten immer mehr Konsum von \(x\) und \(y\) bevorzugen, solange die Werte von \(x\) und \(y\) positiv sind. Monotone Präferenzen implizieren, dass der Konsument niemals weniger von einem Gut bevorzugen würde, wenn mehr davon ohne Kosten verfügbar wäre.
b)
Nutzenmaximale Nachfrage
Die nutzenmaximale Nachfrage nach den Gütern \(x\) und \(y\) kann durch die Aufstellung und Lösung des Optimierungsproblems unter einer Budgetrestriktion bestimmt werden. Die Budgetrestriktion ist \(I = p_x \cdot x + p_y \cdot y\).
Für die nutzenmaximale Kombination müssen wir die Lagrange-Funktion \(L\) aufstellen:
\(L = x^{0,25} \cdot y^{0,75} + \lambda (I - p_x \cdot x - p_y \cdot y)\)
Die notwendigen Bedingungen für ein Maximum sind die ersten Ableitungen von \(L\) nach \(x\), \(y\), und \(\lambda\):
1. \(\frac{\partial L}{\partial x} = 0,25 \cdot x^{-0,75} \cdot y^{0,75} - \lambda \cdot p_x = 0\)
2. \(\frac{\partial L}{\partial y} = 0,75 \cdot x^{0,25} \cdot y^{-0,25} - \lambda \cdot p_y = 0\)
3. \(\frac{\partial L}{\partial \lambda} = I - p_x \cdot x - p_y \cdot y = 0\)
Um die Nachfragefunktionen \(x\) und \(y\) in Abhängigkeit von \(p_x\), \(p_y\), und \(I\) zu finden, lösen wir dieses System von Gleichungen. Zur Vereinfachung setzen wir die Gleichungen 1 und 2 ins Verhältnis:
\(\frac{0,25 \cdot x^{-0,75} \cdot y^{0,75}}{0,75 \cdot x^{0,25} \cdot y^{-0,25}} = \frac{p_x}{p_y}\)
Durch Vereinfachung erhalten wir:
\(x = \left(\frac{p_y \cdot 0,25}{p_x \cdot 0,75}\right)^{4} \cdot y\)
Diese Gleichung gibt uns eine Beziehung zwischen \(x\) und \(y\) basierend auf den Preisen \(p_x\) und \(p_y\), aber sie löst nicht direkt das Optimierungsproblem. Um die genauen Werte von \(x\) und \(y\) zu finden, müsste man diese Gleichungen weiter manipulieren und sie gemeinsam mit der Budgetrestriktion lösen.
Deine Frage zum Einsetzen von \(U = 9\) und das anschließende Umstellen nach \(y\) ist in diesem Kontext nicht richtig. Die Methode zur Bestimmung der nutzenmaximalen Kombination von \(x\) und \(y\) basiert auf der Lösung des Systems von Ableitungen, nicht durch direktes Einsetzen eines Nutzenwerts in die Nutzenfunktion.
Einfluss von \(p_x\) auf die Nachfrage:
Eine Änderung von \(p_x\) beeinflusst die Nachfrage nach beiden Gütern. Ein Anstieg von \(p_x\) würde, ceteris paribus, das zur Verfügung stehende Budget für Konsum reduzieren. Die exakte Auswirkung hängt von den Substitutions- und Einkommenseffekten ab, welche durch die spezifischen Formen der Nachfragefunktionen offenbart würden, sobald diese aus dem oben beschriebenen Optimierungsproblem abgeleitet sind.
