Planarität kannst du mit dem Satz von Kuratowski widerlegen.
Das es einen Hamilton-Keis gibt, kannst du zeigen indem du den Gaphen in einen äußeren und einen inneren Kreis teilst. Vn den fünf Kanten, die dazu entfernt weden müssen, gehören eine gerade Anzahl zum Hamilton-Kreis. Geht man nämlich mittels einer Kante von außen nach innen, dann muss man mittels einer andeen Kante wieder zurück nach außen.
Zwei können es nicht sein. Man muss nämlich dann, wenn man von außen nach innen geht, den ganzen inneren Kreis abgehen, bevor man wieder nach außen geht. Dann landet man aber an einem Knoten, von dem entweder die knoten rechts davon, oder die Knoten links davon nicht mehr erreichen kann.
Es können auch nicht vier sein. Details dazu findest du unter wikipedia://Petersen_graph.
