Exponentialfunktion f(x)=c*a^x verläuft durch die Punkte P und Q.

Question

Bestimmen sie die Funktionsgleichung. Für welches x hat die Funktion den Wert 256? P(0/4) Q(4/0,5)

Ich weiß nicht so ganz wie ich vorzugehen hab. Ich würde erstmals P in die gegebene Exponentialfunktion einsetzen. 4=c*a^0 also vereinfacht 4=c. Dannach würde ich diesen Wert in den Punkt Q einsetzen, sodass 0,5=4*a^0,5 rauskommt. jetzt einfach nach a auflösen. Das Ergebnis müsste 0,016=a lauten (gerundet). Nun habe ich die funktionsgleichung f(x)=4*0,016^x.

Jetzt weiß ich nicht mehr wirklich weiter wie ich vorgehen müsste um 256 in Abhängigkeit zum Wert x rauszubekommen. Ein möglicher Ansatz wäre 256=4*0,016^x, nun nach x auflösen. Das Ergebnis würde somit 4000 lauten. Ich halte dieses Ergebnis jedoch für unwahrscheinlich weshalb ich nach eurer Ansicht nachfrage.

danke im voraus

Answer 1

a = (0.5 / 4)^{1/[4 - 0]} = (1/8)^{1/4} = 0.5946

f(x) = 4 * ((1/8)^{1/4})^x = 4 * (1/8)^{x/4} = 4 * 0.5946^x

f(x) = 4 * (1/8)^{x/4} = 256 --> x = - 8

Comments

danke, habe meinen ersten Fehler gefunden und zwar habe ich 0,5=4*a^0,5 hingeschrieben anstatt 0,5=4*a^4 , denn somit kommt auch das selbe Ergebnis raus wie das was du geschrieben hast.

 weisst du noch eventuell wie man bestimmt, welchen Wert man für x einsetzen muss, sodass 256 rauskommt?

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4 * (1/8)^{x/4} = 256

(1/8)^{x/4} = 64

(8)^{- x/4} = 64 = 8^2

- x/4 = 2

- x = 8

x = - 8

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sorry, wenn ich mich so blöd anstelle, aber woher explizit hasst du das t her?

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Sollte natürlich x lauten. Hatte heute gerade so viele Funktionen mit t für die Zeit.

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danke für die Hilfe, wirst mit der besten antwort belohnt :)

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ich habe den zweiten Schritt nochmal versucht selber zu rechnen aber komme nicht wirklich weiter und verstehe nicht wie du auf (1/8)x/4 kommst. Ich habe soweit das so gemacht 256=4*0,59^x

64=0,59^x und jetzt verstehe ich nicht wie ich das so auflösen kann, dass ich x aus dem Exponenten rausbekomme um 0,59 auf die andere Seite rüber zu holen?

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Was mathecoach gemacht hat mit dem exponenten Vergleich ist sehr elegant. Es geht aber auch einfacher mit dem logarithmus.

64=(1/8)^{x/4}  | jetzt ln auf beiden Seiten anwenden

ln(64)=x/4*ln(1/8)

x=4*ln(64)/ln(1/8)= -8

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danke, habe das nochmal mit dem klassischem Logarythmus gerechnet und bekomme -7,88 raus also gerundet -8. Das Ergebnis dürfte somit übereinstimmen.

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Dann hast du irgendwo sauschlecht gerechnet oder gerundet.

Wenn ich mal mit der gerundeten Funktion rechne.

4·0.5946^x = 256

0.5946^x = 256/4

x = LN(256/4) / LN(0.5946) = -7.999907930 = -8

So sollte das bei ungenauer Rechnung aussehen. 

Answer 2

Hallo Mathelauch,

f(x) = c * a^x  

f(0) = c * a⁰ = c = 4 

f(4) =  c * a⁴  = 4 * a⁴ = 0,5   →  a⁴  = 1/8   →   a = 1 / ⁴√8

f(x) = 4 * (1 / ⁴√8)^x  = 256   | : 4   |  1 / ⁴√8  umschreiben 

((1/2)^3/4)^x =  64

(2^{-3/4})^x = 64

 (2^{-3/4·x}) =  2^6

-3/4·x = 6  →   x = - 8

Gruß Wolfgang

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danke sehr für deinen Beitrag