Wegen Monotonie und fn(a) ≥ 0 ∀n ist
0 ≤ fn(a) ≤ fn(x) ≤ fn(b)
für alle n und alle x ∈ [a,b]. Also ist auch
limn→∞ 0 ≤ limn→∞ fn(a) ≤ limn→∞ fn(x) ≤ limn→∞fn(b) = 0
und somit
0 ≤ limn→∞ fn(a) ≤ limn→∞ fn(x) ≤ limn→∞fn(b) = 0
für alle x ∈ [a,b]. Also ist
limn→∞ fn(x) = 0.
Dass diese Konvergenz gleichmäßig ist, muss noch gezeigt werden.
