Wendepunkt zu Funktionsschar in Abhängigkeit von a, f`''' =0, wie soll das gehen?

Question

 1 a)Die Funktion  f(x)= -2(1/2*x^3-ax^2+ax-a) soll in Abhängigkeit von a auf symmetrie überprüft werden.

Ich habe  eine Fallunterscheidung begonnen mit

a=0 --> f(x)=-x^3 --> punktsymmetrisch zu P(0/0)

was ist aber bei a<>0 ????

1b) Der Wendepunkt dieser Funktion soll bestimmt werden in Abhangigkeit von a.
 es Gilt für Wendepunkt f''=0 und Zugleich f''' <>0
f'(x)=4ax-2a
f''8X)=4a
f'''(x)=0

Jetzt ist f''' sowieso unabhägig von a immer 0, darf es aber für Wendepunkt oder Sattelpunkt gar nicht sein. Wie mache ich da weiter ?

Answer 1

f(x) = - 2·(1/2·x^3 - a·x^2 + a·x - a)

f(x) = - x^3 + 2·a·x^2 - 2·a·x + 2·a

f'(x) = - 3·x^2 + 4·a·x - 2·a

f''(x) = 4·a - 6·x = 0 --> x = 2/3·a

f'''(x) = -6

f(2/3·a) = - (2/3·a)^3 + 2·a·(2/3·a)^2 - 2·a·(2/3·a) + 2·a = 16/27·a^3 - 4/3·a^2 + 2·a

WP(2/3·a | 16/27·a^3 - 4/3·a^2 + 2·a)

PS. Die 3. Ableitung ist hier immer ungleich 0. Weiterhin bedeutet es wenn die 3. Ableitung gleich null wäre nicht zwangsläufig das es kein WP gibt. Betrachte dafür mal y = x^5

Comments

Danke.

Jetzt brauch ich für diese Funktion auch noch den Sattelpunkt in Abhangigkeit von a

zusätzlich zu f''=0 mit x=2/3 a auch noch f'=0

also f'=-3x^2+4ax-2a=0

mit Mitternachtsformel x1,2=-4a+oder -Wurzel 16a^2-4-(-3)*(-2a)

                                               ---------------------------------------------

                                                         -6

kann man jetzt das Ergebnis aus x1 mit x=2/3a        (aus f'=0)

gleichsetzen  um ein gemeinsames a rauszukriegen ?

Und danach dann noch x2 gleichsetzten  mit 2/3 a für ein zweites rgebnis für a ????

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f'(2/3·a) = 4/3·a^2 - 2·a = 0 --> a = 3/2 ∨ a = 0

Sattelpunkt ist also der Wendepunkt für a = 3/2 oder a = 0.