Zeilenumformung, Dimension, Basis

Question

ich benötige Hilfe bei den zusehenden Aufgaben. Ich würde mich freuen, wenn mir einer es erklären könnte

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Hallo Mathe-Rookie

Schreib doch schon mal die Matrix auf.
Danach kannst du anfangen, die Matrix mit dem Gaußalgorithmus in die Zeilenstufenform zu bringen.

Answer 1

a) Ich bekomme

1       -1        2        1
0       1         0        1
0       0         1        1
0       0         0        0 

dim(span(a)) =3 und also ist eine Basis von span(A) 

(1;2;-1;2)^T , (-2;-2;-1;-5)^T und ( 1;4;-1;4)^T  .

also die ersten drei Spalten von A.

Mit ( 0;0;0;1) wird daraus eine Basis von ℝ⁴ .

d) nein, das Gleichungssysten u*a1 +v*a2 + w*a3 + x*a4 = v 

hat keine Lösung für die Variablen u,v,w,x. Ich bekomme z.B.

mit Gauss-Alg. in der letzten Zeile 

0   0   0   0   1.

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Könnten Sie mir bitte erklären wie ich auf die Lösung bei a) komme ?

Ich weiß gerade nicht wie Sie auf die Matrix gekommen sind 

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Kennst du den Gauss-algorithmus ?

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Ich habe den Gauß-Algorithmus noch nie wirklich verwendet

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Wir sagen hier alle: Du.

Also schreibe die Matrix  auf

(Die Vektoren sollen ja die Zeilen sein.) 

1    -2    1   -1 
2    -2    4    2 
-1   -1   -1   -2
2    -5   4     -1  

Das erste Ziel ist die Sache so umzuformen, dass

in der ersten Spalte 

1
0
0
0

steht. Dazu nimmst du die erste Zeile mal -2

und addierst sie zur 2. Zeile.

Dann die erste Zeile (unverändert) zur 3. addieren

und für die Anpassung der 4. Zeile hast du dann auch eine

Idee.  Schreib mal auf, was du dann erhältst.

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Ich habe bei der a) eine andere Lösung:

1 0 0 0 

0 1 0 1

0 0 1 1

0 0 0 0

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Das macht nichts, da hast du halt noch weiter umgeformt.

Jedenfalls erhältst du damit auch Rang=3 , also 

dim(span(a)) =3 und also ist eine Basis von span(A) 

(1;2;-1;2)^T , (-2;-2;-1;-5)^T und ( 1;4;-1;4)^T  .

also die ersten drei Spalten von A.

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Wie kommt man auf den Rest also wie bestimme ich den Rang bzw. die Dimension.

Woher weiß ich, dass die transponierten Matrizen die Basis von span(A) ?

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Den Rang erkennst du daran, dass beim Runterlaufen auf der Hauptdiagonalen 

alles Zahlen ungleich 0 stehen, bis auf die letzte.

Deshalb Rang=3.

Und weil das die ersten drei Stufen auf der Diagonalen sind, bilden

die ersten drei Spalten eine Basis.