Beweis für Punktsymmetrie, aber nicht zu P(0/0)

Question

f(x)=3/4x^3-kx^2

Gefragt ist Symmetrie in Abhängigkeit von k.

Für k=0 ist f(x) punktsymmetrisch zu (0/0)

Für k<>0 ist k nicht punktsymmetrisch zu (0/0).

Soweit ist das sicher - ABER

ist sie nicht punktsymmetrisch zum jeweiligen Wendepunkt (sieht zumindest nach Zeichnung so aus)

z.B. für k=3 ist der Wendepunkt w(0,88882 / -1,05338)

Wie beweist man das dann ? Oder ist die Punktsymmetrie automatisch immer nur bezüglich (0/0) gefragt ?

Comments

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist immer symmetrisch zu seinem immer vorhandenen, einzigen Wendepunkt.

Answer 1

f(x)=3/4x³-kx²     

f ' (x) =  9/4 *x² - 2kx 

f ' ' (x) = 9/2 * x - 2k   also f ' ' (x) = 0 für  4k/9 

also W( 4k/9 ; -32k³ / 243 )

Punktsymmetrie zu diesem Punkt heißt für alle x gilt 

f ( 4k/9  + x )  -  (  -32k³ / 243 )  = (  -32k3 / 243 )  -  f ( 4k/9  - x )  

Das kannst du (leicht) durch entsprechende Umformung beweisen.