Ungleichung mit Bruch lösen (Elastizitäten)

Question

Bei folgender Aufgabe geht es um die Elastizitäten.

Die vorherigen Aufgabenteile habe ich gelöst bekommen.

Bei der letzten Teilaufgabe musste ich mir die Lösung zur Hilfe nehmen.

\( \varepsilon_{x p}=\frac{p}{p-20} \)

\( \left|\varepsilon_{x p}\right|>1 \Leftrightarrow\left|\varepsilon_{x p}\right|<-1 \Leftrightarrow \frac{p}{p-20}<-1 \Leftrightarrow \frac{2 p-20}{p-20}<0 \Leftrightarrow \frac{2 p-20}{p-20}=0 \)

\( \Rightarrow 10<p<20 \)

Dass | E_xp | > 1 ist, ist Grundlage der Aufgabe.

Wie hat man es geschafft den Betrag aufzulösen? Muss man hier nicht normal eine Fallentscheidung machen?

Answer 1

Hi,

das was da steht ist falsch. Der Betrag einer Zahl kann niemals echt kleiner als -1 sein bzw. ja noch nicht mal echt kleiner als 0.

Richtig wäre:

\(\vert \epsilon_{xp} \vert > 1 \quad \Leftrightarrow \quad (\epsilon_{xp} > 1 \lor -\epsilon_{xp} >1 ) \)

Comments

Erstmal vielen Dank.

Ich habe soeben die Fallunterscheidung gemacht.

Beim 1. Fall E_xp  > 1 erhalte ich nach umformen:
$$ \frac { 20 }{ p-20 } >0 $$

Dies hat keine Lösung oder?

Beim 2. Fall -E_xp  >1 komme ich auf das Ergebnis 10<p<20.

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Bitteschön.

Leider stimmt das nicht.

1. Fall: $$ \frac{20}{p-20} > 1 \Leftrightarrow 20 > p-20 \Leftrightarrow 40>p $$

Somit muss \(p<40\) gelten.

Was erhältst du im zweiten Fall?

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$$ -\frac { p }{ p-20 } >\quad 1\quad \Leftrightarrow \quad \frac { p }{ p-20 } <-1\quad \Leftrightarrow \quad \frac { 2(p-10) }{ p-20 } <0 $$

Die Nullstelle ist p=10
Müsste also für p<10 gelten.

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der erste fall wäre bei mir aber:

$$ \frac { p }{ p-20 } >1\quad \Leftrightarrow \quad \frac { p }{ p-20 } -\frac { p-20 }{ p-20 } >0\quad \Leftrightarrow \quad \frac { 20 }{ p-20 } >0 $$

und nich wie bei dir >1

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Danke, hatte auf den Beitrag über mir geschaut und deswegen stand eine 20 im Zähler.

Also nochmal:

$$\frac{p}{p-20}>1 \ \Leftrightarrow \ p>20 $$

Der zweite Fall geht genauso:

$$-\frac{p}{p-20}>1 \Leftrightarrow -\frac{p}{p-20}-1>0 \Leftrightarrow -\frac{p}{p-20}-\frac{p-20}{p-20} > 0 $$

Wie geht es weiter? Sorry für die Verwirrung.