Lösungsmenge einer Ungleichung mit Bruch und Betrag

Question

Aufgabe:

Hätte jemand eine Idee zur Lösung von |x-4| < |x+1|/x ?

Ich verrechne mich andauernd und habe Probleme beim Finden der Lösungsmenge.

Answer 1

Hier ist ein möglicher Weg.

Betrachte

\(f(x) = \frac{|x+1|}x - |x-4|\) für \(x>0\)

(Du weißt ja schon, dass es für \(x<0\) keine Lösung geben kann.)

Die Funktion \(f\) ist stetig auf \((0,\infty)\) und kann daher ihr Vorzeichen nur an ihren Nullstellen wechseln.

Berechne also die Nullstellen von \(f\) für \(x>0\).

$$f(x)=0 \Rightarrow \frac{|x+1|}{|x-4|}= \left|\frac{x+1}{x-4}\right|=x$$

2 Fälle:

$$(1): \:\frac{x+1}{x-4}=x\Rightarrow x^2-5x-1=0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac 12(5\pm \sqrt{29})$$
$$(2): \:\frac{x+1}{x-4}=-x\Rightarrow x^2-3x+1=0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac 12(3\pm \sqrt 5)$$

Damit erhalten wir die folgende Zerlegung von \((0,\infty)\) und wählen in jedem der Intervalle einen Testwert, um das Vorzeichen von \(f\) dort zu bestimmen:

Intervall	\((0,\frac 12(3- \sqrt 5))\)	\((\frac 12(3- \sqrt 5),\frac 12(3+ \sqrt 5))\)	\((\frac 12(3+ \sqrt 5),\frac 12(5+ \sqrt{29}))\)	\((\frac 12(5+ \sqrt{29}),\infty)\)
Testwert x	0.2	1	3	6
Vorzeichen	f(x)>0	f(x)<0	f(x)>0	f(x)<0
Lösung	ja	nein	ja	nein

Jetzt liest du einfach die Lösungsintervalle von der Tabelle ab.

Answer 2

Unterscheide die Fälle

x≤-1

-1<x<0

0<x≤4

4<x.

Wenn du dazu Rückfragen hast, dann frage.

Comments

Hab ich bereits, aber bekomme da nichts sinnvolles raus

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Hab ich bereits,

Zeigen!

Bei genauem Hinsehen: |x-4| und auch |x+1| sind immer nicht negativ, während
|x+1|/x für x<0 IMMER negativ ist.

|x-4| < |x+1|/x kann also für x<0 gar nicht gelten.

Bearbeite also die verbleibenden Fälle

0<x≤4
4<x.

mit besonderer Sorgfalt.

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Sind diese Fälle nicht gleich?

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Da hat sich zeitlich etwas überschnitten. Wie ich dir inzwischen schrieb, kann es für x<-1 (und sogar für x<0) keine Lösung geben.

Sind diese Fälle nicht gleich?

Zahlen zwischen 0 und 4 sind etwas anderes als Zahlen größer als 4.

|x-4| wird in beiden Fällen unterschiedlich gehandhabt.

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Ja hab ich leider nicht gesehen gehabt, ich mache die beiden Fälle jetzt nochmal mit Sorgfalt und dann schicke ich sie hier rein. Nur sind die beiden Fälle nicht ident?

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muss ich hier * (-1) machen, damit das ungleichszeichen wechselt?

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Bist du aus Österreich?

In Deutschland wird das Wort "ident" eigentlich nur von Blendern verwendet, die besonders gebildet erscheinen wollen.

Nein, die beiden Fälle sind nicht identisch.

Für x<4 gilt |x-4| = -(x-4), und für x>4 gilt |x-4| = x-4.

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Ja, ich bin aus Österreich. Mein Professor verwendet „ident“ „äquivalent“ ständig, darum hat sich das bei mir scheinbar schon eingeprägt

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { Fall: } x \in(0,4) \\ -x+4<\frac{x+1 \mid-x}{x} \\ -x^{2}+4 x<x+1|-x|-1 \\ -x^{2}+3 x-1<0 \mid \cdot(-1) \\ x^{2}-3 x+1>0 \\ x \cdot \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{4}{4}-\frac{4}{4}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\end{array} \)

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x²-3x+1 ist der Term einer quadratischen Funktion, deren Graph eine nach ober geöffnete Parabel ist. Die Funktionswerte sind zwischen den Nullstellen negativ.

Positiv sind sie nur außerhalb, also für \(x< \frac{3-\sqrt{5}}{2} \) und, da wir nur x>0 betrachten, für

\(0<x< \frac{3-\sqrt{5}}{2} \),

sowie für \(x> \frac{3+\sqrt{5}}{2} \), aber da wir nur 0<x<4 betrachten, zunächst nur für

\(4>x> \frac{3+\sqrt{5}}{2} \),

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \text { Fall: } x \in(4, \infty) \\ \left.x-4<\frac{x+1}{x} \right\rvert\, \cdot x \\ x^{2}-4 x<x+1|-1|+x \\ x^{2}-5 x-1<0 \quad / \cdot(-1) \\ -x^{2}-5 x+1>0 \\ \frac{-5 \pm \sqrt{29} \approx 5}{-2}=5-5=-\frac{10}{-2}=5 \\ \approx 5 \\ \mathbb{I I}=\left[\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}, \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}\right] \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \text { Fall: } x \in(0,4) \\ \left.-x+4<\frac{x+1}{1} \right\rvert\, \cdot x \\ -x^{2}+4 x<x+1|-x|-1 \\ -x^{2}+3 x-1<0 \mid \cdot(-1) \end{array} \)

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \text { Fall: } x \in(4, \infty) \\ x-4<\frac{x+1}{x} / \cdot x \\ x^{2}-4 x<x+1 \mid-1 /-x \\ x^{2}-5 x-1<0 \mid \cdot(-1) \\ -x^{2}+5 x+1>0 \\ \frac{-57 \sqrt{29}=5}{2}=-5-5=-\frac{10}{2}=5 \\ H:\left[\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{-5-\sqrt{5}}{2}\right] \approx 5 \end{array} \)

Fall: \( x \in(0,4) \)
\( \begin{array}{l} \left.-x+4<\frac{x+1}{x} \right\rvert\, \cdot x \\ -x^{2}+4+<x+1 /-x /-1 \\ -x^{2}+3 x-1<0 / \cdot(-1) \end{array} \)

Das wäre meine Lösungsmenge.

Answer 3

D = R\{0}

1. Fall : x <-1

-(x-4) < -(x+1)/x

-x+4 < -1 -1/x

-x^2+4x > -x-1

x^2+5x-1 <0

pq-Formel:

-2,5+-√(2,5^2+1) = -2,5+√7,25 = -2,5+-√(29/4)= -2,5+-1/2*√29

(x+2,5-1/2*√29)*(x+2,5+1/2*√29) <0

Fallunterscheidung:

a)..

b)...

..

Comments

Sollte man einen weiteren Lösungsvorschlag nicht mit dem bisher Erarbeiteten abgleichen? Es wurde schon erarbeitet, dass es keine Lösung für x<0 gibt. Dennoch weist die letzte Deiner Ungleichungen (u.a.) x=-2 als Lösung aus.