Ungleichung Betrag und Bruch Lösungsmenge

Question

Hi zusammen,

ich habe die Ungleichung:

$$ \frac { x+2 }{ |x-3| } <\frac { x+1 }{ x-1 }  $$

Ich bin in etwa so vorgegangen wie georgborn, weil ich seine Vorgehensweise am verständlichsten finde.

Gut was haben wir also: Betrag und Bruch, damit ergeben sich:

x-3=0 --> x=3

x-1=0 --> x=1

Die Fälle wären dann:

1.) x<1

2.) 1<x<3

3.) x>3

Ist das bis hierhin richtig?

Comments

Soweit richtig!

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Gut dann folgt hier die Rechnung: ich hoffe dass man es entziffern kann ;-)

Meine Lösungsmenge habe ich mal grün umrandet.

Eine Frage vorweg: 1<x<3 und die Lösung x>1,8, wie bringt man das zusammen?

Achso und am Ende nicht =1,8 sondern >1,8

Answer 1

Ja. Das ist soweit richtig. Und bevor du nachher fragst ob deine Lösung auch richtig ist kannst du sie mit der von meinem Freund Wolfram vergleichen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%2B2)%2F%7Cx-3%7C%3C(x%2B1)%2F(x-1)

Dann brauchst du nur bei einer Abweichung hier nochmals nachfragen.

Comments

Super, dann habe ich fast alles verstanden.

Nur zu meiner Frage: wie fasse ich denn x>1,8 und 1<x<3 zusammen?

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x > 1.8 --> 1.8 < x

ersetze das in der anderen Bedingung

1 < x < 3

1.8 < x < 3

Das sieht aber verkehrt aus wenn du die Lösung von Wolfram ansiehst.

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Deine Lösung ist auch

-1.350781059 < x < 1.850781059

für den Fall 1 < x < 3

Also

1 < x < 1.850781059

Answer 2

Korrekturen an deinem Handschriftlichem

Fall 1. ist soweit schon ganz gut bis auf das Ergebnis
x < 1.8
x < -1.3
und die dazu angefertigte Skizze.

Ich gehe bei der Lösung der Ungleichung
x^2 - x - 5 < 0 wie folgt vor.

Der linke Teil ist eine Parabel
Davon rechne ich die Nullstellen aus indem ich annehme
x^2 - x - 5 = 0  | pq-Formel
x = 1.8
x = -1.3

Einzeichnen der Werte auf einem Zahlenstrahl


Die Parabel kann noch oben geöffnet sein ( rote Parabel )
oder
nach unten geöffnet sein ( grüne Parabel )

Da das Vorzeichen von
+2*x^2 - x - 5 < 0
positiv ist handelt es sich um
eine nach oben geöffnete Parabel ( rote Parabel )

Zwischen -1.8 < x < 1.3 wäre der Funktionswert kleiner 0
Dies ist die Lösung.

Eine weitere Methode wäre " die Punktprobe ".
x^2 - x - 5 = 0
x = 1.8
x = -1.3
Es wird ein Punkt zwischen x = -1.3 und x = 1.8 angenommen.
Ist der Funktionswert < 0 so ist der ganze Bereich zwischen
x = -1.3 und  x = 1.8 kleiner 0.
f ( -1) = (-1)^2 - (-1) - 5 = -3
Der Funktionswert ist kleiner 0.
-1.8 < x < 1.3 ist die Lösung.

Comments

Der Rest kommt noch.

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Unglücklichsterweise ist mir ein Fehler in deiner Berechnung
entgangen. Das hast das Relationszeichen einmal zu früh
umgedreht.

( x - 3  ) für x < 1 wird negativ. Daher gilt
| x - 3 | = ( x -3 ) * (-1)

( x -3 ) * (-1) ist somit wieder ein positiver Ausdruck.
Durch eine Multiplikation damit bleibt das " < "  erhalten.

Hier die Korrektur

In der 2.letzten Zeile fehlt rechts noch " / ( x -1 ) "
( x -1 ) für x < 1 ist negativ.
Bei der Multiplikation damit dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
Die letzte Zeile ist ok.

Wenn du weiter arbeiten willst :
Nullstellen bestimmen. ( bekannt )
Punktprobe machen
und dann die Lösungsbereiche angeben.

Eigentlich haben wir schon recht viel gelernt.