Wir haben dass $$|3-x|=\left\{\begin{matrix}3-x & \text{ für } 3-x\geq 0 \\ -(3-x) & \text{ für } 3-x<0\end{matrix}\right. \Rightarrow |3-x|=\left\{\begin{matrix}3-x & \text{ für } x\leq 3 \\ x-3 & \text{ für } x>3\end{matrix}\right.$$
Fall 1 : x ≤ 3 :
$$\frac{1}{x}+|3-x|>x+4 \Rightarrow \frac{1}{x}+3-x>x+4 \Rightarrow \frac{1}{x}-2x>1$$
Wenn x>0 dann multiplizieren wir die Ungleichung mit x und das Ungleichungszeichen bleibt unverändert: $$\frac{1}{x}-2x>1 \Rightarrow 1-2x^2>x \Rightarrow 2x^2+x-1<0$$ Das gilt wenn -1<x<1/2.
Wir haben die Voraussetzung dass x>0. Deswegen folgt es dass 0<x<1/2.
Das x muss also die Ungleichungen x ≤ 3 und 0<x<1/2 erfüllen. Die Lösungsmenge L1 ist also (0, 1/2).
Wenn x<0 dann multiplizieren wir die Ungleichung mit x und das Ungleichungszeichen ändert sich: $$\frac{1}{x}-2x>1 \Rightarrow 1-2x^2<x \Rightarrow 2x^2+x-1>0$$ Das gilt wenn x>1/2.
Das x muss also die Ungleichungen x ≤ 3 , x<0 und x>1/2 erfüllen. Die Lösungsmenge L2 ist also die leere Menge.
Fall 2: x>3 :
$$\frac{1}{x}+|3-x|>x+4 \Rightarrow \frac{1}{x}+x-3>x+4 \Rightarrow \frac{1}{x}>7 \Rightarrow 1>7x \Rightarrow x<\frac{1}{7}$$
Das x muss also die Ungleichungen x > 3 und x<1/7 erfüllen. Die Lösungsmenge L3 ist also die leere Menge.
Die Lösungsmenge der Betragsungleichung ist $$L=L_1\cup L_2 \cup L_3=\left(0, \frac{1}{2}\right)$$
