Lösungsmenge der komplexen Ungleichung mit Betrag bestimmen

Question

1. |z−1+2i|=|z+3−i| 

   ich habe bei dieser aufgäbe als Ergebnis y= -1,5 heraus bekommen, hierbei sollten wir die Lösungsmenge der Ungleichung lösen und meine frage ist, ob das Ergebnis korrekt ist

    

   
   

Comments

Für eine Ungleichung sieht das aber ziemlich gleich aus.

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Was soll y sein?

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ich habe z durch x + iy ersetzt und y ist die Lösungsmenge der Gleichung ?

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Dann zeig mal Deine Rechnung

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I z-1+2i I = I z+3-i I 

I x+iy-1+2 I = I x+iy +3-i I

√ x²+ (y-1)² = √ x² (y+2)² 

x² + y² +2y+1 = x² +y²+4y+4

2y+1 = 4y +4

-2y= 3

-1,5 = y

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Da stimmen einige Dinge nicht. In der dritten Zeile müsste es heissen $$  (x-1)^2 +(y+2)^2 = (x+3)^2 + (y-1)^2 $$

Damit mal weiter rechnen.

Answer 1

$$ \left| z-1+2i \right|=\left| z+3-i \right| $$ Die Gleichung ist äquivalent zu

$$ \left| z-\left(1-2i\right) \right|=\left| z-\left(-3+i\right) \right| $$ Sie beschreibt genau die Punkte \((x\mid y)\) in der Gaußschen Zahlenebene, die von den Punkten \((1\mid -2)\) und \((-3\mid 1)\) den gleichen Abstand haben, also die Mittelsenkrechte dieser beiden Punkte.

Falls ich mich nicht verrechnet habe, lässt sie sich zum Beispiel durch die Gleichung

$$ 4x - 3y = -5 $$darstellen.

Die Beträge muss man dazu nicht ausrechnen.