Lösungsmenge einer Ungleichung mit Bruch und Betrag

Question

Aufgabe:

Hätte jemand eine Idee zur Lösung von |x-4| < |x+1|/x ?

Ich verrechne mich andauernd und habe Probleme beim Finden der Lösungsmenge.

Answer 1

Hier ist ein möglicher Weg.

Betrachte

\(f(x) = \frac{|x+1|}x - |x-4|\) für \(x>0\)

(Du weißt ja schon, dass es für \(x<0\) keine Lösung geben kann.)

Die Funktion \(f\) ist stetig auf \((0,\infty)\) und kann daher ihr Vorzeichen nur an ihren Nullstellen wechseln.

Berechne also die Nullstellen von \(f\) für \(x>0\).

$$f(x)=0 \Rightarrow \frac{|x+1|}{|x-4|}= \left|\frac{x+1}{x-4}\right|=x$$

2 Fälle:

$$(1): \:\frac{x+1}{x-4}=x\Rightarrow x^2-5x-1=0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac 12(5\pm \sqrt{29})$$
$$(2): \:\frac{x+1}{x-4}=-x\Rightarrow x^2-3x+1=0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac 12(3\pm \sqrt 5)$$

Damit erhalten wir die folgende Zerlegung von \((0,\infty)\) und wählen in jedem der Intervalle einen Testwert, um das Vorzeichen von \(f\) dort zu bestimmen:

Intervall	\((0,\frac 12(3- \sqrt 5))\)	\((\frac 12(3- \sqrt 5),\frac 12(3+ \sqrt 5))\)	\((\frac 12(3+ \sqrt 5),\frac 12(5+ \sqrt{29}))\)	\((\frac 12(5+ \sqrt{29}),\infty)\)
Testwert x	0.2	1	3	6
Vorzeichen	f(x)>0	f(x)<0	f(x)>0	f(x)<0
Lösung	ja	nein	ja	nein

Jetzt liest du einfach die Lösungsintervalle von der Tabelle ab.

Comments

Welche Lösungsmenge ist dann hier für (0,4) und (4, unendlich)?

Wir dürfen bei der Prüfung leider die Stetigkeit nicht verwenden, da diese noch nicht behandelt wurde.

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \frac{x}{12}: \frac{5}{2}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{54}{4}}=\frac{x}{12}: \frac{5+\sqrt{29}}{2} \\ \alpha=\left(41 \frac{5+\sqrt{29}}{2}\right] \end{array} \)

Lösungsmenge yosam \( t= \)
\( \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \frac{5+\sqrt{29}}{2}\right) \)

Ich bin zu dem Ergebnis gekommen, bitte korrigieren wenn falsch.

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Die Lösungsmenge besteht aus zwei offenen Intervallen.
Du hast nur eins angegeben, dessen linker Randpunkt falsch ist.

Hier nochmal ein Link zu den Lösungsintervallen mit WolframAlpha.

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Besten Dank!

Answer 2

Unterscheide die Fälle

x≤-1

-1<x<0

0<x≤4

4<x.

Wenn du dazu Rückfragen hast, dann frage.

Comments

Hab ich bereits, aber bekomme da nichts sinnvolles raus

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Hab ich bereits,

Zeigen!

Bei genauem Hinsehen: |x-4| und auch |x+1| sind immer nicht negativ, während
|x+1|/x für x<0 IMMER negativ ist.

|x-4| < |x+1|/x kann also für x<0 gar nicht gelten.

Bearbeite also die verbleibenden Fälle

0<x≤4
4<x.

mit besonderer Sorgfalt.

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Sind diese Fälle nicht gleich?

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Da hat sich zeitlich etwas überschnitten. Wie ich dir inzwischen schrieb, kann es für x<-1 (und sogar für x<0) keine Lösung geben.

Sind diese Fälle nicht gleich?

Zahlen zwischen 0 und 4 sind etwas anderes als Zahlen größer als 4.

|x-4| wird in beiden Fällen unterschiedlich gehandhabt.

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Ja hab ich leider nicht gesehen gehabt, ich mache die beiden Fälle jetzt nochmal mit Sorgfalt und dann schicke ich sie hier rein. Nur sind die beiden Fälle nicht ident?

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muss ich hier * (-1) machen, damit das ungleichszeichen wechselt?

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Bist du aus Österreich?

In Deutschland wird das Wort "ident" eigentlich nur von Blendern verwendet, die besonders gebildet erscheinen wollen.

Nein, die beiden Fälle sind nicht identisch.

Für x<4 gilt |x-4| = -(x-4), und für x>4 gilt |x-4| = x-4.

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Ja, ich bin aus Österreich. Mein Professor verwendet „ident“ „äquivalent“ ständig, darum hat sich das bei mir scheinbar schon eingeprägt

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { Fall: } x \in(0,4) \\ -x+4<\frac{x+1 \mid-x}{x} \\ -x^{2}+4 x<x+1|-x|-1 \\ -x^{2}+3 x-1<0 \mid \cdot(-1) \\ x^{2}-3 x+1>0 \\ x \cdot \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{4}{4}-\frac{4}{4}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\end{array} \)

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x²-3x+1 ist der Term einer quadratischen Funktion, deren Graph eine nach ober geöffnete Parabel ist. Die Funktionswerte sind zwischen den Nullstellen negativ.

Positiv sind sie nur außerhalb, also für \(x< \frac{3-\sqrt{5}}{2} \) und, da wir nur x>0 betrachten, für

\(0<x< \frac{3-\sqrt{5}}{2} \),

sowie für \(x> \frac{3+\sqrt{5}}{2} \), aber da wir nur 0<x<4 betrachten, zunächst nur für

\(4>x> \frac{3+\sqrt{5}}{2} \),

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \text { Fall: } x \in(4, \infty) \\ \left.x-4<\frac{x+1}{x} \right\rvert\, \cdot x \\ x^{2}-4 x<x+1|-1|+x \\ x^{2}-5 x-1<0 \quad / \cdot(-1) \\ -x^{2}-5 x+1>0 \\ \frac{-5 \pm \sqrt{29} \approx 5}{-2}=5-5=-\frac{10}{-2}=5 \\ \approx 5 \\ \mathbb{I I}=\left[\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}, \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}\right] \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \text { Fall: } x \in(0,4) \\ \left.-x+4<\frac{x+1}{1} \right\rvert\, \cdot x \\ -x^{2}+4 x<x+1|-x|-1 \\ -x^{2}+3 x-1<0 \mid \cdot(-1) \end{array} \)

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \text { Fall: } x \in(4, \infty) \\ x-4<\frac{x+1}{x} / \cdot x \\ x^{2}-4 x<x+1 \mid-1 /-x \\ x^{2}-5 x-1<0 \mid \cdot(-1) \\ -x^{2}+5 x+1>0 \\ \frac{-57 \sqrt{29}=5}{2}=-5-5=-\frac{10}{2}=5 \\ H:\left[\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{-5-\sqrt{5}}{2}\right] \approx 5 \end{array} \)

Fall: \( x \in(0,4) \)
\( \begin{array}{l} \left.-x+4<\frac{x+1}{x} \right\rvert\, \cdot x \\ -x^{2}+4+<x+1 /-x /-1 \\ -x^{2}+3 x-1<0 / \cdot(-1) \end{array} \)

Das wäre meine Lösungsmenge.

Answer 3

D = R\{0}

1. Fall : x <-1

-(x-4) < -(x+1)/x

-x+4 < -1 -1/x

-x^2+4x > -x-1

x^2+5x-1 <0

pq-Formel:

-2,5+-√(2,5^2+1) = -2,5+√7,25 = -2,5+-√(29/4)= -2,5+-1/2*√29

(x+2,5-1/2*√29)*(x+2,5+1/2*√29) <0

Fallunterscheidung:

a)..

b)...

..

Comments

Sollte man einen weiteren Lösungsvorschlag nicht mit dem bisher Erarbeiteten abgleichen? Es wurde schon erarbeitet, dass es keine Lösung für x<0 gibt. Dennoch weist die letzte Deiner Ungleichungen (u.a.) x=-2 als Lösung aus.