Extremwertaufgabe: Zylindrische Dose mit möglichst wenig Material: Radius und Höhe für gegebenes Volumen?

Question

Hallöchen, kann mir jemand  bei der folgenden Aufgabe helfen? Ich bekommen einfach kein richtiges Ergebnisraus bzw. habe keinen richtigen Ansatz.

Eine amerikanische Softdrinkfirma will ein Getränk in zylindrische Dosen verpacken. Wie müssen der Radius r und die Höhe h gewählt werden, sodass bei einem

Vorgegebenen Volumen V = 0, 5 Liter möglichst wenig Material verbraucht wird?

!:)

Answer 1

Hallo noway! :-)

Die Oberfläche der Dose \(O(r,h) = 2r^2 \pi + 2r\pi \cdot h \) soll bei gegebenem Volumen \(V=r^2\pi h \) möglichst klein sein. Wir können \(h = \frac{V}{r^2\pi} \) in die Formel der Oberfläche einsetzen und bekommen nach dem Kürzen \( O(r) = 2r^2 \pi + \frac{2V}{r}\). Wir bilden die erste Ableitung und setzen sie Null.
\(O'(r) = 0 \)
\( 4r\pi - \frac{2V}{r^2} = 0 \)
\(\Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \)

Grüße

Comments

Super Erklärung, bin ich leider nicht drauf gekommen. Könntest du vielleicht etwas zu meiner Teil-Lösung sagen?

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Super Erklärung, ...

Danke schön :-)

...  Könntest du vielleicht etwas zu meiner Teil-Lösung sagen?

Überprüfe doch mal die Rechnung deines Lösungsansatzes - aus ihr folgt h = h.
Damit wissen wir: Die Höhe h einer Dose mit dem Volmen V ist die Höhe h. Die Rechnung ist richtig, formal korrekt. Ist das aber die Lösung der Extremwertaufgabe?
Wenn ja, warum. Wenn nicht, warum nicht?

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Also man bekommt zwar eine Höhe raus, aber es wird nicht so wenig wie möglich Material verwendet. Also ist es keine Lösung, wenn man das so stehen lässt. 

Danke für die Antwort

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Hallo Smitty,
man bekommt keine Höhe raus, man stellt bloß fest, dass h=h gilt. Das ist keine neue Information, daher leider auch keine Teillösung.. Für die Minimierung des Materialbedarfs braucht man zusätzlich zu den Angaben der Aufgabenstellung die Formel für die Oberfläche.
Grüße

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Ich kann bei mir doch aber h ausrechnen und dementsprechend auch den r für einen

Zylinder. Wenn ich in bei der Formel r=√V/Pi•h       h=V/Pi einsetze. Und mit dem Ergebnis dann die Höhe. 

Also klar ist, dass man damit viel zu viel Material braucht und somit die Aufgabe nicht beantwortet, aber man einen Zylinder ausrechnen.

Smitty

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Dieser Weg, führt ebenfalls nicht zum Ziel, es kommt \(r=r \) raus. Das ist gehüpft wie gesprungen. Setzen wir \(h = \frac{V}{r^2\cdot \pi} \) in die Formel \( r = \sqrt{\frac{V}{h \cdot \pi}} \) ein, bekommen wir \(r = \sqrt{\frac{V}{\frac{V}{r^2\cdot \pi} \cdot \pi}} \). Übrig bleibt
$$\begin{aligned}  r &= \sqrt{\frac{V}{\frac{V}{r^2\cdot \not{\pi}} \cdot \not{\pi}}} = \sqrt{\frac{V}{\frac{V}{r^2}}} =\sqrt{\frac{ \not{V} \cdot r^2}{\not{V}}} = \sqrt{r^2} \\&= r\end{aligned} $$

Answer 2

wahrscheinlich kennst du die Formel: V= Pi•r² •h     nach h umgestellt: h=V/Pi*r²

Dann kannst du nach r umstellten =>r=√V/PI•h

Das setzt du nun ein. h=V/Pi•V/Pi•h) => h=v²/Pi²•h => h² = v²/Pi² => h=V/Pi

Nun kannst du h einsetzen. Entweder die Zahl oder noch die Variablen, kommt meist besser an :)

Denk dran: die / stehen als Bruchstriche.

Smitty

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

Comments

Danke soweit aber ich verstehe es dennoch nicht. Wie soll ich das berechnen? Ich habe doch nur volumen :/ 

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Also: grundsätzlich versuchst du etwas nach einer gesuchten Variable umzustellen. In dem Fall "h", die Höhe. Steht ja oben in der ersten Zeile. Was braucht man jetzt noch? Den Radius. Und dann stellst du dir die Frage, wie du diesen bekommen kannst. In dem Fall stellst du die Formel nach "r", den Radius um. Wahrscheinlich kennst du das Verfahren Gleichung 1 in Gleichung 2 einsetzen. Das wird dort gemacht. Du setzt die Gleichung, die nach r umgestellt ist, ein für r². Da die Gleichung für r eine Wurzel ist, gleicht sich dies mit dem "hoch 2" aus. Dann hast du zum Schluss die Gleichung:

h=v/Pi => 0,5 Liter  einsetzen=> h=500cm³/Pi => h=160cm

So jetzt haben wir die Höhe von dem Zylinder der Radius ist dann r=√V/Pi•160cm

r=1cm

Jetzt haben wir den Zylinder mit einer sehr großen Fläche. Um die zu verringern, musst du den Radius vergrößern und die Höhe verkleinern. Wenn du zum Beispiel den Radius 2 cm hast, setzt du den in die Formel ein und bekommst eine Höhe von 40 cm.

Ich hoffe du kommst jetzt klar,

Smitty