Extremwertaufgabe: Zylindrische Dose mit möglichst wenig Material

Question

Aufgabe:

Für die Herstellung von Blechdosen (Zylinderform) mit Volumen 1 Liter sollen Boden und
Deckel aus quadratischen Blechstücken ausgeschnitten werden, dabei umschreibt das
Quadrat genau den Kreis. Wie groß sind die Maße zu wählen, wenn der gesamte
Materialverbrauch möglichst gering sein soll? Der Abfall beim Ausschneiden von Boden und
Deckel zähle zum Materialverbrauch

Problem/Ansatz:

Also mein Problem ist, dass ich nicht wirklich einen Ansatz für die Aufgabe finde, also wie genau ich da jetzt rechnen soll und wollte fragen ob jemand bitte helfen könnte ^^

Answer 1

V = pi·r^2·h --> h = V/(pi·r^2)

M = 8·r^2 + 2·pi·r·h = 8·r^2 + 2·pi·r·(V/(pi·r^2)) = 8·r^2 + 2·V/r

M' = 16·r - 2·v/r^2 = 0 --> r = V^(1/3)/2

h = V/(pi·(V^(1/3)/2)^2) = 4/pi·V^(1/3)

h/r = (4/pi·V^(1/3)) / (V^(1/3)/2) = 8/pi = 2.546

Die Höhe müsste also etwa 2.5 mal so groß sein wie der Radius.

Nun kannst du auch noch V = 1 Liter = 1 dm^3 = 1000 cm^3 einsetzen und die Maße ausrechnen.

r = 1000^(1/3)/2 = 5 cm

h = 4/pi·1000^(1/3) = 12.73 cm

Comments

oh wow es ist eigentlich echt deutlich einfacher als ich gedacht hatte ^^

Habe viel zu kompliziert gedacht daher vielen lieben Dank für die Antwort!

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Woher nimmst du die 8 her ?

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Boden und Deckel sind zwei quadratische blechstücke. Die Quadrate beinhalten jeweils einen Kreis mit dem Durchmesser 2r, deswegen haben die Quadrate auch die Seitenlänge 2r. Daraus ergibt sich für die Blech Quadrate die Fläche A=2r*2r=4*r^2. Da es zwei blechstücke gibt, muss die Fläche noch mal zwei genommen werden, Also A_{Boden+Deckel}=2*4r^2=8*r^2.