Mit einer Parabel e-Funktion approximieren

Question

kann man die Kurvenschar f_k(x)=k*(e^{x/k}+e^{-x/k})/2 (= kcosh(x/k) immer mit einer Parabel g(x) approximieren? Bei k=1 und im Intervall [-1;1], wäre das kein Problem. Die Approximation lautet bei k=1 und Im Intervall [-1;1] g(x)=0.54x^2+1 (siehe Forum).

 Kann man eine allgemeingültige Regel entwerfen, oder gibt es die schon? Ginge dies bei k=4 und bei einem Intervall [5;10] auch. Falls es keine allgemeingültige Regel gibt, um Teile von f_k(x) zu approximieren, kann man dann komplett f_k(x) approximieren, sodass beim bloßen Einsetzen vom Wert k die Parabel als Näherung bereit wäre?

 Galileo ging ja auch von eine Parabel aus, obwohl es keine wahr sondern eine Hyperbelfunkltion. Interessant wäre es (zumindest sehr für mich), ob man diese Funktion f_k(x) dennoch gut mit der Parabelform approximieren kann. Falls ja, könnte ich mir ein Schmunzeln nicht verkneifen..

Ansätze sehr gerne erwünscht! 

Answer 1

Hi,

das kannst deine Kurvenschar im einen Punkt mit Hilfe der Taylorreihe approximieren:

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe

Eine schöne Veranschaulichung liefert dieses Video hier:

https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4&t=912s

Es gilt:

$$e^x= \overset{\infty}{\underset{k=0}{\sum}} \frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+ \frac{x^4}{24}+\ldots$$

Brechen wir die Reihe hier ab, so erhalten wir eine Approximation der e-Funktion um den Entwicklungspunkt \(a=0\):

$$e^x \approx 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+ \frac{x^4}{24} $$

D.h. ist \(x\) nah an \(0\), so ist die rechte Seite eine Approximation für den Werte der e-Funktion an dieser Stelle.

Man schreibt: \(T_4f(x;0)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+ \frac{x^4}{24}\) mit \(f(x)=e^x\)

Was du haben willst ist z.B. \(T_Nf_4(x;7.5)\) mit \(f_k(x)=k \cdot \frac{e^{x/k} + e^{-x/k} }{2}\)

Je größer dein \(N\), desto besser ist die Approximation.

Die 7.5 habe ich einfach mal genommen, da du vom Intervall [5,10] gesprochen hast. Da dachte ich mir, ich nehme mal die Mitte.

Comments

Ich habe zwar nicht verstanden, was das alles heißt, aber wenn man ein Intervall approximieren kann, dann ist es ja wunderbar! Ich hoffe mein gebrochenes englisch reicht aus^^

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Ich bemerke es gerade. Die Parabel soll die Approximation dieser Schar bilden. Hier ist dies wahrscheinlich nicht der Fall, oder?

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Bitte :)

Wenn dir das Video zu schwer ist, kannst du dir auch mal diese hier anschauen:

Entwicklungsstelle a=0:

https://www.youtube.com/watch?v=WcPmgc-ElMs&t=49s

Allgemeiner Entwicklungsstelle:

https://www.youtube.com/watch?v=ShEsu51q5jI

PS: Oben in meinem Beitrag müsste es Entwicklungsstelle und nicht Entwicklungspunkt heißen.

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Ab 1:25 siehst du wie die Sinusfunktion approximiert wird (im Video auf Englisch) :) 

Das kann man mit einer Parabel machen (siehe 1:29) oder mit einem Polynom vom höheren Grad, wenn man eine bessere Approximation will.

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Danke dafür! Ich möchte aber wirklich nur mit der Parabelform g(x)=ax^2+bx+c annähern, denn alle Graphen ähneln der Parabelform. Es wäre sehr interessant, wie stark die Abweichungen sind wie Roland schon sagte :).

EDIT: Die Nachricht habe ich erst jetzt gesehen. Ich werd mal reinschauen! Danke :D

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Uhh, das wird niemals klappen mit dem, was ich vorhatte. Ich wollte zur Funktionsschar eine Parabel als Approximation, welche sich je nach k Wert ändern, um zu vergleichen, Unterschiede aufzuzeigen und zu erläutern. Alles einzeln berechnen kann ich leider nicht. Galileo ging ja von einer Parabel aus^^. Muss mir wohl ein anderes Thema aussuchen :D.

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Also wenn ich dich richtig verstehe, ist das was du willst, das hier:

Es gilt:

\(f_k(x)=k \cdot \frac{e^{x/k}+e^{-x/k}}{2} \)

\(f'_k(x)=\frac{e^{x/k}-e^{-x/k}}{2} \)

\(f''_k(x)=\frac{1}{k} \cdot \frac{e^{x/k}+e^{-x/k}}{2} \)

Ich approximiere mal der Einfachheit halber um die Entwicklungsstelle \(a=0\). Du kannst für \(a\) auch einen anderen Wert nehmen, wenn du das möchtest.

Es gilt: \(f_k(0)=k\), \(f'_k(0)=0\) und \(f''_k(0)=\frac{1}{k}\)

Wir erhalten: \(T_kf(x;0)=k+\frac{1}{2k} \cdot x^2\)

Schauen wir uns das mal an für \(k=2\):

~plot~ 2 cosh(x/2);2+0.25 x^2 ~plot~

Sieht doch gut aus :)

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Sieht ziemlich gut aus ;). Habe die Taylor-Formel ebenfalls angewandt, mir kam da was anderes raus. Die zweite Ableitung war falsch bei mir^^. War schon dabei aufzugeben. Dankeschön :)

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Bitteschön :)

Sowas passiert. Flüchtigkeitsfehler passieren mir auch immer wieder :)

Answer 2

Der Begriff des "Approximierens" schließt Abweichungen ein. Diese ergeben sich auch für k=1 im Intervall [-1,1]. Die Frage ist, welche Abweichungen in welchen Intervallen als hinnehmbar angesehen werden sollen. Erst nach Klärung diese Frage lassen sich sicher auch Approximationen durch Parabeln für andere Werte von k berechnen. Im günstigsten Falle kann man diesen ein Muster ansehen. Dieses Muster hängt auf jeden Fall stark von der Festlegung hinnehmbarer Abweichungen ab.

Comments

Ich möchte es interessenhalber machen :D. 

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Hättest du da einen Ansatz? Diese Kurvenschar an die Parabelform zu approximieren?

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Dazu müsstest du verraten, welche Abweichungen in welchen Intervallen als hinnehmbar gelten sollen.

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Dann würde ich mal sagen [20;50]. Möchte das Vorgehen bei solch einer Approximation der Funktion f_k(x). Damit ich den Intervallen angepasst selber Parabeln erstellen kann. Also je nach k eine andere Parabelform die dem neuen Graph sehr ähnelt. Es hört sich so an, als wäre es nicht machbar den kompletten Graph anzunähern... Da wären zwar Abweichungen aber ich möchte wissen wie groß die kleinst mögliche wäre.

EDIT: Andererseits möchte ich, wie du schon sagtest nur bestimmte intervalle mit der annähern. Hättest du die Zeit bei beiden Problemen eine Unterstützung zu sein?

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Meine eigentliche Intention war für die verschiedenen Funktionen dieser Schar mit einer Parabel komplett anzunähern, weil Galilei dachte, das cosh eine Parabelfunktion sei. Mit dem Hintergrund wollte ich erläutern, wie gut die Parabel als Approx für die Funktionen der Schar ist.

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Was soll denn "komplett annähern" bedeuten? Man kann immer nur mit einer hinnehmbaren Genauigkeit annähern. Die Tatsache, dass frühere Generationen eine Annäherung bereits für Exaktheit hielten, zeigt heute, dass da noch Mängel im Gebäude der Mathematik bestanden, die heute ausgeräumt sind.

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Da hast du Recht! Ich sollte es lieber lassen. Jetzt erkenne ich selbst das Problem dahinter. Dennoch danke für das Versuchen, mir zu helfen!