Vollständige Räume über Cauchy Folgen?

Question

Als Beispiel die reellen Zahlen:

Die rationalen Zahlen als alle möglichen Brüche von ganzen Zahlen sind nicht vollständig da etwa die Wurzel aus 2, Pi oder e nicht enthalten sind. (alle irrationalen Zahlen)

Man definiert nun die Menge der reellen Zahlen als die rationalen Zahlen plus alle Grenzwerte von möglichen Cauchy Folgen an rationalen Zahlen. Dadurch impliziert man doch aber dass jede etweiige irrationalen Zahl Grenzwert einer Cauchy Folge von rationalen Zahlen ist.

Ist dem so, also kann man zeigen dass alle irrationalen Zahlen Grenzwert einer Cauchy Folge sind?

Ansonsten wäre ja Vollständigkeit auch nicht zwingend gegeben.

Answer 1

meiner Meinung nach muss man das nicht zeigen, sondern ist dem definitionsgemäß so.

MfG

Mister

Comments

Da es nach Cantors zweitem Diagonalargument überabzählbar viele irrationale Zahlen gibt ist die Sache finde ich doch berechtigt in Frage zu stellen. Warum sollen alle irrationalen Zahlen als Grenzwert einer Cauchy folge existieren?

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Weil sie so definiert sind.

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Cauchy Folgen erfüllen laut Definition doch lediglich eine gewisse Konvergenzbedingung.

Es existieren offensichtlich Folgen welche die Cauchy Konvergenzbedingung erfüllen und nachweisbar irrationale Grenzwerte besitzten. Aber es könnte doch durchaus sein dass irrationale Zahlen existieren die nicht als Grenzwert einer Folge darstellbar sind. Daher meine Verwirrung.

Wenn genau dies aber die Annahme ist (Also dass alle existierenden Zahlen irrational wie rational als Grenzwert einer Folge, welche im Sinne des Cauchy Kriteriums Konvergiert, darstellbar sind) dann ergibt alles Sinn.
Aber ich kann nirgends in der Definition von Cauchy Folgen diese Annahme finden. Und es erscheint mir auch nicht trivial oder offensichtlich.

Warum sollte dies so sein?

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Die irrationalen Zahlen kann man zum Beispiel als Äquivalenzklassen von Folgen rationaler Zahlen definieren: Zwei Folgen {x_i} und {y_i} seien dazu äquivalent, falls ihre Differenzfolge eine Nullfolge ist, also für alle ε > 0 ein N existiert, sodass |x_i - y_i| < ε für alle i >= N. Bezeichne [x_i] eine solche Äquivalenzklasse. α := [x_i] = {{y_i}: {x_i} ~ {y_i}} ist dann eine irrationale Zahl, sofern es keine rationale Zahl ist. Somit sind die irrationalen Zahlen als Äquivalenzklassen von Folgen definiert.