Hilfe beim Intervallschachtelungs-Prinzip

Question

kann mir jemand bitte den vorletzten Satz erläutern nämlich "Da die Länge der Intervalle...". Ich verstehe ihn anschaulich, aber damit bin ich nicht zufrieden. D.h. ich kann mein k beliebig vergrößern und damit werden die Abstände immer kleiner und wenn es ein zweites x gebe, dann würde irgendwann das zweite x außerhalb des Intervalls liegen, aber mein Gedankengang basiert auf einer natürlichen Vorstellung und nicht nach einer präzissen Definiton.

Den Satz habe ich aus Analysis 1, Forster.

Satz 2. Das Vollständigkeits-Axiom impliziert das IntervallschachtelungsPrinzip. Beweis. Seien \( I_{n}=\left[a_{n}, b_{n}\right], n \in \mathbb{N} \), die ineinander geschachtelten Intervalle. Wir zeigen zunächst, dass die Folge \( \left(a_{n}\right) \) der linken Endpunkte eine Cauchy-Folge darstellt.

Beweis hierfür. Da die Länge der Intervalle gegen null konvergiert, gibt es zu vorgegebenem \( \varepsilon>0 \) ein \( N \in \mathbb{N} \), so dass \( \operatorname{diam}\left(I_{n}\right)<\varepsilon \quad \) für alle \( n \geqslant N \)
Sind \( n, m \geqslant N \), so liegen die Punkte \( a_{n} \) und \( a_{m} \) beide im Intervall \( I_{N} \), woraus folgt
\( \left|a_{n}-a_{m}\right| \leqslant \operatorname{diam}\left(I_{N}\right)<\varepsilon, \quad \text { q.e.d. } \)
Nach dem Vollständigkeits-Axiom konvergiert die Folge \( \left(a_{n}\right) \) gegen einen Punkt \( x \in \mathbb{R} \). Da \( a_{k} \leqslant a_{n} \leqslant b_{n} \leqslant b_{k} \) für alle \( n \geqslant k \), folgt aus \( S \) 4, Corollar zu Satz 5 , dass \( a_{k} \leqslant x \leqslant b_{k} \). Das heißt, dass der Grenzwert \( x \) in allen Intervallen \( I_{k} \) enthalten ist. Da die Länge der Intervalle gegen null konvergiert, kann es nicht mehr als einen solchen Punkt geben. Damit ist Satz 2 bewiesen.

Answer 1

Nehmen wir mal an du hast eine Nullstelle bei 2 und möchtest jetzt ein Intervall drum herum setzen. Dann nimmst du vielleicht erstmal das Intervall [1; 3] welches die Länge 2 hat. Dann das Intervall [1.9; 2.1] mit der Länge 0.2, dann das Intervall [1.99; 2.01] mit der Länge 0.02. Das machst du beliebig lange und schließt so immer mehr Werte aus. Die Länge des Intervalls konvergiert gegen 0. Das heißt man erhält nachher ein Intervall

[2 - 0⁺; 2 + 0⁺] welches nachher als Grenzwert nur noch die Nullstelle enthält.

Comments

Aber woher weiß ich, dass es eine zweite Zahl z.B. 2,000001 nicht gibt? Was bringt mir wenn ich ein Intervall wie z.B. [19999999999;2,0000000001] angebe? Dann kann ich wieder eine Zahl wie z.B. 2,00000000000000000001 angeben und dann muss Du mir wieder ein Intervall finden. Das hat meiner Meinung nach wenig mit einem Beweis zu tun, sondern eher mit einer Anschauung über die reellen Zahlen, die wir aus der Schule kennen.