Beweis zur Intervallschachtelung

Question

Es geht um den Beweis der Existenz von Wurzeln. Da habe ich im Königsberger folgende Beweisführung entdeckt:

Zunächst zeigen wir, daß auch die Intervalle \( I_{n}^{k}:=\left[a_{n}^{k} ; b_{n}^{k}\right], n=1,2, \ldots \) eine Intervallschachtelung bilden:

\( \left(1^{k}\right) \quad I_{n+1}^{k} \subset I_{n}^{k} \) gilt für jedes \( n \) wegen \( I_{n+1} \subset I_{n} \).

\( \left(2^{k}\right) \) Die Länge eines jeden Intervalls \( I_{n}^{k} \) unterliegt der Abschätzung:

\( \left|I_{n}^{k}\right|=\left(b_{n}-a_{n}\right)\left(b_{n}^{k-1}+b_{n}^{k-2} a_{n}+\ldots+a_{n}^{k-1}\right)<\left|I_{n}\right| \cdot k b_{1}^{k-1} \)

Sei nun \( \varepsilon>0 \) gegeben. Da \( \left(I_{n}\right) \) eine Intervallschachtelung ist, gibt es einen Index \( \nu \) so, daß \( \left|I_{\nu}\right|<\varepsilon^{\prime}:=\varepsilon / k b_{1}^{k-1} \). Mit diesem \( \nu \) ist dann \( \left|I_{\nu}^{k}\right|<\varepsilon \)

Ansatz/Problem:

Ich verstehe nicht, wie die Abschätzung gemeint ist... Also es gilt ja, dass |I_n^k|=b_n^k -a_n^k ist. Das wurde ja einfach in den Klammern geschrieben, indem geschickt Nullen addiert wurden, oder? Nun gilt ja, dass (b_n-a_n) ja gerade |I_n| ist, aber wie kommt man denn zur Abschätzung k*b₁^k-1 ?

Answer 1

wieder der Königsberger :D.

es ist

$$\Large  b^k_n - a^k_n = (b_n - a_n) \sum_{i=0}^{k-1} b_n^{k-1-i}a^i_n $$

Wobei die Summe das ist was in der zweiten Klammer im Text steht

Da \( 0 < a_n < b_n \) ist auch \(a_n^i < b_n^i \quad \forall i \in \mathbb{N} \) und insbesondere die einzelnen Summanden in der Summe kleiner als \(b_n^k\).

Da es \(k\) Summanden sind gilt also

$$ \Large \sum_{i=0}^{k-1} b_n^{k-1-i}a^i_n < kb^k_n \leq kb^k_1 $$

Die letzte Ungleichung gilt da \( b^k_n \leq b^k_1 \) was aus der Konstruktion der Intervallschachtelung klar sein sollte (dies geht natürlich nicht aus deinem Textausschnitt hervor).

Es ist nicht böse gemeint aber tu dich nicht schwer mit dem Königsberger, viele Anfänger beißen sich an dem die Zähne aus. Es gibt da weitaus verdaulichere Literatur für Studienbeginner.

Gruß