Krümmung: Konvex oder konkav ermitteln von f(x) = (2x^2 - 9x + 9) / (x-1)^2

Question

f(x) = (2x² - 9x + 9) / (x-1)²

f^,, (x) = (10x+22) / (x-1)⁴

 so nun möchte ich wissen wann die Funktion konvex oder konkav ist wie gehe ich vor ?

  f^,, (x) = 0  → x = -2,2

was bedeutet das jetzt für das Krümmungsverhalten ?

EDIT: Fehlende Klammern um Zähler ergänzt.

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Hinweis
(x) = 2x^2 - 9x + 9 / (x-1)^2

du vergißt immer den Zähler einzuklammern.

(x) = ( 2x^2 - 9x + 9 ) / (x-1)^2

Answer 1

so nun möchte ich wissen wann die Funktion konvex oder konkav ist wie gehe ich vor ?

Dazu  f ' ' (x) ≥ 0 betrachten.

(10x+22) / (x-1)⁴  ≥ 0

<=>  10x+22  ≥ 0   (Denn der Nenner ist nie negativ; allerdings bei x=1 ist er 0=

<=>     x  ≥  -2,2

also konvex über ] -2,2 ;1 [ und über ] 1  ; ∞ [.

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und konkav dann für x<-2,2 ; ∞ ?

Answer 2

Das Krümmungsverhalten kann sich ändern bei:

• Nullstellen der zweiten Ableitung,
  
• Stellen an denen die zweite Ableitung nicht existert.

Du hast eine Nullstelle der zweiten Ableitung bei x = -2,2 gefunden. Also kann sich dort das Krümmungsverhalten ändern

Außerdem hat deine Funktion eine Definitionslücke bei x = 1. An Definitionslücken ist die Funktion nicht stetig (sie kann nur im Definitionsbereich stetig sein). Weil sie nicht stetig ist, existiert dort die erste Ableitung nicht. Also existiert dort die zweite Ableitung auch nicht. Also kann sich auch dort das Krümmungsverhalten ändern.

Umgkehrt heißt das auch:

• Im Bereich (-∞, -2,2) hat die Funktion überall das gleiche Krümmungsverhalten.
  
• Im Bereich (-2,2, 1) hat die Funktion überall das gleiche Krümmungsverhalten.
• Im Bereich (1, ∞) hat die Funktion überall das gleiche Krümmungsverhalten.
  

Wähle aus diesen drei Bereichen je eine Stelle exemplarisch aus und setze in die zweite Ableitung ein um das Krümmungsverhalten an dieser Stelle zu berechnen. Zur Erinnerung, f''(x₀) > 0 ⇒ f ist bei x₀ konvex, f''(x₀) < 0 ⇒ f ist bei x₀ konkav. Dieses Krümmungsverhalten gilt dann für den gesammten Bereich.

Answer 3

eine Funktion nennt man konvex [konkav] über einem Intervall I, wenn sie dort linksgekrümmt [rechts-]  ist, wenn dort also f "(x) > 0   [f "(x) < 0]  für alle x∈I gilt.

f(x)  =  2·x^2 - 9·x + 9/(x - 1)^2     ; D_f  =  ℝ \ {1}

f '(x)  =  - 18/(x - 1)^3 + 4·x - 9

f "(x)  =  54/(x - 1)^4 + 4 > 0   für alle x ∈ D  

f  konvex in  ] -∞ ; 1 [   und in  ] 1 ; ∞ [

Gruß Wolfgang

Answer 4

Entweder du hast Punkt- vor Strichrechnung nicht berücksichtigt [ = Klammern falsch]  oder deine Ableitung stimmt nicht.

Für die angegebene Funktion ergibt sich als 2. Ableitung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+2x%5E2+-+9x+%2B+9+%2F+(x-1)%5E2

EDIT: Fehlende Klammern ergänzt. 

Answer 5

f ´´ ( x ) = [ -2 * (5*x - 11) ] / (x - 1)^4

Wendepunkt x = 2.2

Ungenauer Nachweis
f ´´ ( 2.1 ) = 0.68 : positiv : Linkskrümmung
f ´´ ( 2.3 ) = -0.35 : negativ : Rechtskrümmung

Ansonsten mußt du rechnen
[ -2 * (5*x - 11) ] / (x - 1)^4  > 0
für den Bereich der Linkskrümmung